Acción Formativa N°56: “Una mirada geométrica de las cajas musicales”
Módulo: Identidades, Cultura y Sociedad
Les presentamos esta nueva publicación de Matemática con una propuesta de abordaje de Geometría y Medidas para Séptimo Grado, con el propósito de continuar indagando saberes desde nuestros vínculos con la cultura y los recuerdos de las bellas melodías de nuestras cajitas de música.
Invitamos a compartir la presente Acción Formativa producida por el Equipo Pedagógico de Educación Primaria.
Licenciada Nanci Noemí Alario
Subsecretaria de Educación Primaria.
1- INTRODUCCIÓN:
Esta Acción Formativa da continuidad a los aportes brindados en “Cuaderno 2 Alfasueños de séptimo grado”. En esta ocasión, se propone avanzar hacia contenidos relacionados con la Geometría y la Medida, en una propuesta que propone la construcción de un escenario en el cual varios espacios del conocimiento se encuentren enlazados: Literatura, Música, Tecnología y Matemática.
Desde Matemática se proponen problemáticas que habilitan la descripción de ciertos objetos (cajas musicales), la identificación y el análisis de figuras geométricas de dos y tres dimensiones que permitan profundizar esta descripción y el encuentro de argumentos para tomar decisiones relacionadas con construcciones en tres dimensiones. También, se ofrecen situaciones para establecer mediciones y discusiones sobre diferentes magnitudes, con la intención de continuar profundizando sobre relaciones proporcionales y no proporcionales.
Finalmente, se considera que esta propuesta plantea un contexto de interés para las chicas, los chicos y sus familias porque relaciona algo que, de alguna manera, conecta con las historias y los recuerdos. Una caja musical es un objeto que con su forma, sus colores y su particular melodía, permite recuperar y vivenciar experiencias. Se pretende enriquecer estas experiencias brindando la posibilidad de realizar ciertos diseños, ponerlos en discusión y, posteriormente, utilizarlos en la construcción del objeto diseñado.
2- RECORDAMOS ALGUNOS ACUERDOS:
A continuación, se comparten objetivos que pueden abordarse en la presente propuesta. Estos fueron redactados teniendo en cuenta los Núcleos de Aprendizajes Prioritarios de tercer ciclo (Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología, 2006):
– Interpretar, registrar y comunicar medidas eligiendo la representación más adecuada.
– Operar seleccionando el tipo de cálculo y la forma de expresar los números involucrados que resulte más conveniente en función de la situación.
– Producir y analizar construcciones explicitando las propiedades involucradas, analizando cuerpos geométricos para caracterizarlos y clasificarlos.
– Construir figuras a partir de diferentes informaciones utilizando compás, regla, transportador y escuadra, explicitando los procedimientos empleados y evaluando la adecuación de la figura obtenida.
– Analizar y usar diferentes procedimientos para estimar y calcular medidas en situaciones que requieran medir áreas y volúmenes, estimando resultados y evaluando la pertinencia de la unidad elegida para expresarlos.
– Analizar la variación de la longitud de una circunferencia en función de la variación del radio.
– Analizar la variación de áreas en función de la variación de diferentes dimensiones de figuras.
3- COMPARTIMOS ALGUNOS SABERES:
Algunos propósitos fundamentales de la tarea docente son los siguientes:
– Habilitar escenarios novedosos, atrapantes, que permitan el involucramiento, el crecimiento, la interpretación, la confusión, el debate, la formulación de conjeturas, la comunicación de procesos y la validación de los mismos.
– Proponer unas matemáticas interpretadas como construcción social, ligada a lugares, momentos, intereses y vínculos existentes con otros campos de conocimiento.
– Ofrecer una mirada interdisciplinaria relacionada con las ciencias, el arte, la literatura, la ética y la ciudadanía, la tecnología, la educación física, la E.S.I. y todos los contextos pertinentes para que las chicas y los chicos tengan oportunidades de asumir una postura crítica.
En relación a lo expuesto, una propuesta que persiga estos propósitos, deberá brindar la posibilidad de enfrentar verdaderas situaciones problemáticas, que se encuentren relacionadas con cuestiones interesantes, que tengan además, una significatividad tal que permita el vínculo con diferentes espacios de conocimiento. En este sentido, reivindicar el “problema” en la clase de Matemática es una tarea valiosa, porque de acuerdo a Brousseau (1986), “sólo se hacen matemáticas cuando nos ocupamos de problemas (…) Una buena reproducción por el alumno de una actividad científica exigiría que intervenga, que formule, que pruebe, que construya modelos, lenguajes, conceptos, teorías, que los intercambie con otros, que reconozca los que están conformes con la cultura, que tome los que le son útiles, etc. Para hacer posible una actividad de este tipo, el profesor debe imaginar y proponer a los alumnos situaciones que ellos puedan vivir y en las cuales los conocimientos aparecerían como la solución óptima a los problemas propuestos, solución que el alumno puede descubrir” (p. 6). Por esto, se considera fundamental tener la capacidad para elegir adecuadamente los contextos, compartirlos para generar entusiasmo y acompañar respetuosamente cada intento, cada avance, pues tal como manifiesta Waldegg (1998, p. 25), se sugiere propiciar situaciones didácticas significativas que les permita utilizar sus conocimientos y experiencias previos, respetando las diferencias individuales, fomentando las actividades en grupo ya que, según Cambriglia, Sadovsky y Sessa (2010): “En la medida que en el aula se generen procesos colectivos de producción, las relaciones matemáticas elaboradas son un producto de las tensiones de la interacción” (p. 141). En consecuencia, cada docente mostrará disposición para provocar y sorprender, pues tal como afirma Brousseau (1986), se considera importante “simular en su clase una micro sociedad científica si quiere que los conocimientos sean medios económicos adecuados para proponer buenas preguntas y para zanjar debates”. (p. 7)
En relación a las nociones que se abordan sobre Geometría y Medida, es necesario compartir y discutir algunas cuestiones que proponen Broitman, Escobar, Grimaldi, Itzcovich y Sancha (2007, p. 9):
– Se busca que, a partir de ciertos problemas donde las chicas y los chicos tengan la necesidad de medir y tomar decisiones sobre este proceso, continúen avanzando y discutiendo ciertas nociones, por ejemplo:
* Medir es elegir una unidad y determinar cuántas veces “entra” esta unidad en el objeto a medir;
* El resultado de la medición depende de la unidad elegida;
* Es imposible medir exactamente aunque existen procedimientos que permiten mejores aproximaciones;
* En muchas ocasiones, la medición demanda la partición de la unidad de medida elegida.
En relación a lo mencionado, pueden plantearse interrogantes que habiliten discusiones y posibilidades de profundización, por ejemplo: ¿Puede arribar a estas nociones una chica o un chico que no lleve a cabo el proceso completo de medición, es decir que no efectúe mediciones? ¿Generamos situaciones para que tengan que medir? ¿Son interesantes y significativas? ¿Permitimos que tomen decisiones en este proceso? ¿Brindamos la oportunidad de elegir la unidad de medida? ¿Qué ideas sobre la noción “unidad” tensionamos? ¿Cómo invitamos a pensar que la medición es un proceso que conlleva imprecisiones? ¿Qué permitimos comparar para que surja este pensamiento? ¿Planteamos situaciones problemáticas que requieren una mayor precisión en las mediciones? ¿Por qué consideramos que requieren mayor precisión? ¿Generamos la necesidad de identificar errores y entender que no se pueden eliminar pero sí reducir? ¿Permitimos tomar decisiones en la división de las unidades y habilitamos la utilización de, por ejemplo, medio centímetro, un cuarto de metro? ¿Invitamos a analizar el vínculo entre las divisiones de las unidades y el sistema de numeración decimal? ¿Proponemos la interpretación de los prefijos utilizados en las unidades convencionales?
Finalmente, es valioso abordar estas temáticas en íntima relación con nociones de proporcionalidad. Aquí, es importante retomar, valorar y poner en discusión algunas recomendaciones que pueden apreciarse en el documento “Matemática: Leer, escribir y argumentar” del Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología (2007, p. 16 y 44): Cuando las chicas y los chicos hacen matemática, pueden estar interiorizados en el estudio de tipos de cambios, en el análisis de variaciones, usando un nuevo objeto matemático destinado a representar estos cambios: las variables. Identificar a la longitud de una circunferencia, a la longitud del radio, a la longitud del diámetro como variables y analizar el comportamiento de alguna de ellas ante variaciones de las demás es una aproximación al trabajo que realizarán en los próximos años de escolaridad. Analizar cuándo algo realmente cambia y cuándo no, precisar qué cambia y cómo, permitirá revisar críticamente los conocimientos aritméticos y geométricos, articularlos, reorganizarlos en nuevas estructuras. Para lograr esto, no es suficiente proponer actividades interesantes, es clave propiciar espacios de debate en torno a ellas para que surja la necesidad de pensar la forma más clara de comunicar argumentos, de entender lo enunciado por las y los demás, determinar la validez de ciertas conjeturas. Esto implica una reflexión sobre la tarea realizada y una nueva mirada sobre la actividad, sobre la situación problemática, desde una posición más crítica y reflexiva. Cada docente debe tener presente que, cuando las chicas y los chicos comienzan a producir de manera autónoma aparecen distintos procedimientos, de diferentes niveles de complejidad, con diversos tipos de errores, se tiene que decidir, a veces en un instante, qué discutir y cómo hacer para que hablen y argumenten acerca de sus producciones. Por este motivo, una intervención adecuada, proviene de la decisión sobre cuáles serían esas buenas preguntas que habiliten la participación, el abordaje de procedimientos y, por sobre todo, la sensación de confianza en las propias posibilidades.
4- RESOLVEMOS, CREAMOS Y PROPONEMOS:
Iniciamos, desde un lugar que podría estar vinculado a Formación Ética y Ciudadana, hablando sobre las emociones, si podemos identificarlas en nuestras vidas y en las de otras personas, qué hacemos con ellas, cómo las comunicamos y las vivenciamos…
Una pregunta que puede orientar la continuación de esta secuencia es la siguiente:
¿Qué hacés cuando estás triste?
Tomamos nota de las ideas que van surgiendo, hablamos sobre qué es la tristeza y compartimos el siguiente poema:
Papel de lija (José Pedroni)
Cuando estoy triste lijo
mi cajita de música.
No lo hago para nadie.
Sólo porque me gusta.
Hay quien escribe cartas;
quien sale a ver la luna
para olvidar. Yo lijo
mi cajita de música.
Amarga es la madera
de palo santo, dura.
Pero es como el amor
que no muere y perfuma.
Cuando estoy triste lijo
mi cajita de música.
Porque te vas y vuelves,
no he de acabarla nunca.
Te espero. Mi tristeza
huele a ti y es menuda.
Tengo las manos verdes
esta noche de lluvia.
José Pedroni (Santa Fe, Argentina, 1899-1968).
Escuchamos como, de manera tan hermosa lo musicalizan:
https://www.youtube.com/watch?v=GmKnppT4HxU
https://www.youtube.com/watch?v=KW-HJnV3vZk
Sería una interesante oportunidad profundizar sobre las y los artistas, sus obras, su compromiso social, las temáticas que trataron de discutir en sus interpretaciones, en sus selecciones, etc.
A continuación, pondremos en escena este particular elemento que aparece en el poema, con algunas preguntas como las siguientes:
¿Qué es una caja de música? ¿En tu casa tuvieron o tienen alguna? ¿Te acordás qué melodía tenía? ¿Qué sensación les causaba? ¿Cómo era esa caja musical?
A partir de las respuestas invitaremos a centrar la atención en la descripción de las formas de las cajitas musicales, mostramos imágenes de las mismas (si nos encontramos en una clase presencial, sería pertinente llevar algunas, observarlas, tocarlas, cerrar los ojos y escuchar sus melodías…)
Invitamos a investigar sobre cómo funciona una caja musical y sobre el mecanismo que permite la melodía:
https://www.youtube.com/watch?v=crcmZl0sRmI
https://www.youtube.com/watch?v=VfvpynqLfzQ
https://www.youtube.com/watch?v=SJq2WKgCStI
Vamos a proponer el diseño y la construcción de una caja musical teniendo en cuenta que la misma contenga en su interior, por lo menos, el mecanismo que permite la melodía. Para esto, solicitamos investigar sobre las dimensiones de estos mecanismos, materiales y procedimientos. Entre otras opciones, sugerimos mirar cómo fabricar una caja musical:
https://www.youtube.com/watch?v=XOg8RZBbAKY
La idea es que puedan entusiasmarse con el análisis, el diseño y la construcción. En este camino, se podrá problematizar cuestiones relacionadas con las formas geométricas de tres dimensiones:
¿Qué forma tienen las cajas musicales? ¿Por qué poseen esta forma?
¿Qué otras formas podrían tener?
¿Qué formas de cajas musicales sorprendentes podemos pensar?
¿Qué dimensiones debería tener una caja de música y por qué?
¿Qué se debe tener en cuenta para su construcción?
Producto de preguntas como las anteriores, se profundizará sobre prismas y cilindros, sobre elementos como base y caras laterales, las diferentes formas que puede tener la base de un prisma (sus ventajas y desventajas en relación al contexto propuesto).
Vamos a investigar cómo construir una caja de música de forma cilíndrica, para esto se podría brindar la siguiente consigna:
Ustedes son diseñadoras y diseñadores de cajas musicales y deben realizar el plano de las piezas de una caja de forma cilíndrica. Luego de realizar el plano, deben construir la caja musical con cartulina, cartón u otro material.
Es importante acompañar los diferentes avances, orientando, escuchando, valorando las producciones, no decir qué hacer sino más bien estar atentas y atentos a interpelar la tarea para que aparezcan las siguientes nociones:
– Un cilindro tiene dos bases.
– Las bases del cilindro son círculos que poseen el mismo radio.
– La superficie curva del cilindro es un rectángulo cuya base deberá medir lo mismo que la longitud de la circunferencia de las bases del cilindro.
En la elaboración del diseño, consideramos que lo más complejo para las chicas y los chicos será calcular la longitud de la base del rectángulo que deberá coincidir con la longitud de la circunferencia de la base del cilindro.
Se propone utilizar hilos o tiras de papel, para determinar en forma aproximada esta medida. Puede ser útil solicitar que tomen un objeto de forma cilíndrica y realizar lo mencionado anteriormente, ya que el dibujo puede entorpecer el proceso de medición.
Luego de establecer las medidas, puede ser oportuno preguntar qué relación hay entre la longitud de la circunferencia y el diámetro, que comparen cuántas veces más larga es la primera medida con respecto a la segunda. De esta manera, pueden descubrir que en todos los casos ocurre lo mismo: la longitud de una circunferencia es “algo más de tres veces” la longitud de su diámetro, también podrán decir que la longitud del diámetro “entra” tres veces y un poco más en la longitud de la circunferencia. Se puede proponer la lectura de diversas fuentes para determinar con mayor precisión esta relación. De esta manera, lograrán acercarse de forma comprensiva a lo siguiente:
Una vez que hayan realizado el diseño de la caja de música, se compartirán las producciones y se efectuará una puesta en común sobre los procedimientos utilizados, estableciendo comparaciones y discusiones para que fundamenten las decisiones tomadas.
Importante: Una tarea interesante que puede solicitarse, es el análisis de la variación de la longitud de la circunferencia a partir de la variación de su diámetro. Puede resultar útil visualizar las mediciones en una tabla con dos columnas, registrando en una de ellas la longitud del diámetro de distintas circunferencias y, en la otra columna, la longitud correspondiente de cada circunferencia. Invitar a explorar estas mediciones sería una buena oportunidad para poner en discusión si las mismas son exactas, si presentan errores y por qué, si estas magnitudes se relacionan en forma directamente proporcional, si cuando una de ellas aumenta o disminuye, la otra lo hace en la misma proporción, si existe alguna constante de proporcionalidad y si puede interpretarse en virtud de lo analizado anteriormente (porque si las mediciones conllevan precisiones importantes, van a concluir que la constante de proporcionalidad es el número 
A continuación, se solicitará diseñar y fabricar cajas musicales con forma de prisma, con la siguiente condición: cada caja musical que construyan deberá tener como base un polígono de 6 lados congruentes (que posean la misma longitud).
La situación convocará a discutir en torno a cómo dibujar la base, seguramente existirá un proceso de ensayo y error. Si utilizan solamente la regla, es muy probable que comiencen a aparecer inconvenientes. Las y los docentes continuarán con una mirada interpeladora sin brindar indicaciones en cuanto a cómo proceder. Por supuesto, esperarán que acontezcan procedimientos vinculados con la utilización del compás para trasladar medidas, con la identificación de la conformación del hexágono usando triángulos equiláteros (de lo contrario deberán sugerirse). También, pueden invitar a investigar y que descubran que el hexágono regular queda inscripto en una circunferencia y los lados de este polígono poseen una longitud igual a la del radio de dicha circunferencia. Finalmente, como no se solicitaba la construcción de un polígono regular, se recomienda plantear una nueva problemática: ¿Es posible construir otro hexágono con la característica indicada?
Una vez construida la base del prisma, determinarán sus caras laterales, asociando la longitud de cada lado del hexágono a la longitud de cada base de los rectángulos que diseñarán. Será importante, para una adecuada construcción del prisma, que puedan darse cuenta que estos seis rectángulos conforman un único rectángulo, como se aprecia en la siguiente figura:
Luego de compartir y analizar los diseños de las distintas cajas musicales, discutiremos sobre los elementos que tiene un prisma, sobre cómo pueden ser las formas de sus bases, cómo pueden ser las formas de sus caras laterales. Intentaremos arribar a las siguientes ideas:
– Un prisma tiene dos bases que son polígonos, que pueden ser regulares o no. Lo importante es que la distancia entre las bases sea siempre la misma y, en definitiva, las bases se encuentren contenidas en planos paralelos.
– Las caras laterales de un prisma (deberíamos aclarar prisma recto) son rectángulos (de lo contrario, deberíamos expresar paralelogramos).
– Las aristas laterales tienen la misma longitud y son paralelas entre sí.
Luego del análisis de las formas, se puede proponer un estudio de superficies de bases y caras laterales (todo en relación a la construcción de estas cajas musicales). Sería oportuno proponer la construcción de un medidor de superficies. Una hoja de papel de calcar o cualquier elemento transparente, dividida en cuadrados de 1cm de lado, de esta forma:
.jpg)
Si estos cuadrados poseen 1cm de lado, entonces cada cuadrado tiene una superficie cuyo área es 1
Se puede proponer organizar una tabla con las medidas de la superficie de la cara lateral y la base de cada rectángulo construido (manteniendo constante la altura de los rectángulos). Analizar y verificar si estas dos magnitudes se relacionan en forma directamente proporcional. Realizar lo mismo, pero variando de igual manera tanto la base como la altura; analizar nuevamente la relación entre la superficie del rectángulo y la longitud de la base para evidenciar ahora que las mismas no se encuentran relacionadas en forma directamente proporcional, por más que, cuando una de ellas aumenta o disminuye, la otra también lo hace.
Aclaración: Nos parece importante que luego de un análisis crítico sobre los procedimientos utilizados y luego de discutir mucho sobre qué es el área y qué unidades utilizar en su medición; recién allí aparezca la oportunidad de enfrentarse a problemáticas para descubrir, analizar y utilizar fórmulas para su cálculo.
Finalmente, se puede proponer un estudio sobre el volumen o capacidad, de acuerdo a situaciones problemáticas que se planteen. Un recurso valioso es la utilización de vasos medidores, esto habilita la interpretación de la noción de volumen sin tener que involucrar a las y los estudiantes un el uso de fórmulas que, en ocasiones, obstaculizan la visualización de las ideas. Tal como se expresó anteriormente, luego de un acercamiento basado en experiencias genuinas sobre procesos de medición, creemos oportuno descubrir, analizar y aplicar las fórmulas.
Esperamos que esta propuesta permita continuar reflexionando nuestras prácticas para potenciar los caminos transitados.
5- BIBLIOGRAFÍA:
– Broitman, C.; Escobar, M.; Grimaldi, V.; Itzcovich, H.; Sancha, I. (2007). “Orientaciones didácticas sobre la enseñanza de la medida en 2º ciclo”. Buenos Aires: Dirección General de Cultura y Educación.
– Cambriglia, V., Sadovsky, P., Sessa, C. (2010). Procesos colectivos de generalización. La Pampa.
– Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación (2006). Núcleos de Aprendizajes Prioritarios. 3º Ciclo EGB / Nivel Medio. Matemática. Buenos Aires, Argentina.
– Ministerio de Educación Ciencia y Tecnología de la Nación. (2007). Matemática: Leer, escribir y argumentar. Buenos Aires, Argentina.
– Parra, C; Saiz, I (1997). “Didáctica de matemáticas. Aportes y reflexiones.” Buenos Aires: Paidós Educador.
– Waldegg, G. (1998). Principios constructivistas para la educación matemática. Revista EMA, 4 (1), 16-31.
Agradecemos a la Profesora Mariela Pagani y al Profesor Alejandro Alessi, miembros del Equipo Pedagógico de la Subsecretaría de Educación Primaria.
Les dejamos un afectuoso saludo. ¡Hasta el próximo encuentro!
Subsecretaría de Educación Primaria.
| Autor/es: | RETAMAL, EMMANUEL |
