Acción Formativa Nº 51: Ranaldo encuentra… números

Módulo: Identidades, Cultura y Sociedad.

Acción Formativa N°51: Construir escenarios habilitadores que permitan aproximaciones hacia el objeto matemático: sistema de numeración decimal.

 

1- INTRODUCCIÓN:

Queremos compartir una secuencia didáctica y un marco de referencia que nos permita reflexionar sobre la enseñanza del sistema de numeración decimal en Primer grado.

El marco de referencia metodológico está basado en un enfoque socio constructivista, asociado con la Teoría de las Situaciones Didácticas, que puede observarse en la serie Cuadernos para el Aula y en propuestas de numerosas/os autoras/es que trabajan desde hace tiempo desde estas miradas, donde se interpreta que la aproximación a cada objeto matemático, es un proceso que implica problematización, confianza, tiempo y un espacio genuino de discusión y validación de ideas.

La secuencia está organizada en relación a Ranaldo, este personaje tan querido que nos acompaña en el Primer Ciclo. Quien permitirá vivenciar un contexto significativo y de interés para las/os niñas/os, para involucrarlas/os en problemáticas relacionadas sobre ciertos acuerdos que están implícitos en el sistema de numeración decimal, como por ejemplo: las ideas de agrupamiento, base y valor posicional.

 

2-RECORDAMOS ALGUNOS ACUERDOS:

Compartimos aquellos objetivos que se abordan en esta propuesta. Estos fueron redactados teniendo en cuenta los Núcleos de Aprendizajes Prioritarios de primer ciclo (Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología,  2004):

• Sostener y/o incrementar un sentimiento de confianza en las propias posibilidades para enfrentar problemas y formularse interrogantes.
• Fortalecer una adecuada disposición para comunicar resultados y procedimientos, defender sus propios puntos de vista, considerar ideas y opiniones de otras/os, debatirlas y elaborar conclusiones.
• Reconocer y usar diversas representaciones de los números naturales, fortaleciendo la designación oral y la representación escrita al determinar y comparar cantidades.
• Lograr aproximaciones hacia la organización decimal del sistema de numeración, identificando regularidades en la serie numérica para leer, escribir y comparar números.
   

3-COMPARTIMOS ALGUNOS SABERES:

La enseñanza del sistema de numeración decimal nos compromete en una búsqueda incesante de caminos, recursos e ideas que habiliten escenarios pertinentes y problematizadores para que el acercamiento al mismo, por parte de las/os estudiantes, sea una posibilidad concreta. En principio, debemos entender la enorme complejidad que conlleva este objeto matemático, que se transforma en objeto de enseñanza-aprendizaje en el momento de compartir la propuesta didáctica. Para analizar dicha complejidad, ponemos en discusión algunas nociones que nos acercan Terigi y Wolman (2007):

 – Podemos pensar a todos los sistemas de numeración y, en particular, al sistema de numeración decimal, como sistemas de representación de cantidades. En este sentido, es muy importante que tengamos en cuenta que la construcción de cualquier sistema de representación involucra un proceso de diferenciación de los elementos y relaciones reconocidos en el objeto a ser representado, en este caso, en las cantidades y en el proceso de cuantificación; y una selección de aquellos elementos y relaciones que serán retenidos en la representación, en este caso, las reglas del sistema de numeración. Aquí será importante que nos preguntemos: ¿Qué reglas intentamos que construyan las/os estudiantes? ¿Permitimos momentos de discusión sobre las mismas? ¿Nos animamos a generar una profundización sobre sus orígenes, sobre la posibilidad de que sean diferentes? A modo de ejemplo: ¿Nos permitimos reflexionar sobre los motivos por los cuales el número diez no tiene un símbolo único como lo tienen los números cuatro, ocho o tres? ¿Discutimos sobre cuáles son los agrupamientos que permiten realizar un conteo más rápido o efectivo? ¿Ponemos en tensión la conveniencia de expresiones orales como “once”, “doce”, “trece”, “catorce”, “quince”? ¿Aprovechamos cada obstáculo que ofrece el aprendizaje del sistema de numeración decimal como una problemática que habilite discusiones, profundizaciones y establecimiento de acuerdos?

 

 – Para poder representar las cantidades, cada sistema de numeración posee ciertas reglas que permiten organizar la cuantificación para hacerla económica. Es decir, existe una finalidad que tiene que ver con lo práctico, lo eficaz y eficiente. Estas reglas, son producto de la elaboración histórica de ciertas convenciones. Dicha elaboración podemos entenderla como una búsqueda sostenida de economía en la representación, que ha desembocado en la elaboración del sistema de numeración decimal, por el cual con diez símbolos es posible representar infinitos números y realizar operaciones cuyos algoritmos están basados en la practicidad y la eficiencia establecidas mediante estas reglas. Mencionado esto, podemos proponer interrogantes que permitan analizar nuestra práctica, por ejemplo: ¿Qué problemas permitimos abordar para tensionar la identificación de los símbolos del sistema de numeración decimal y las reglas que permiten que los mismos representen todos los números? ¿Y para discutir sobre cómo el valor que representan está en relación a su ubicación? ¿Qué situaciones abordamos que generen una discusión en relación al aprovechamiento de las reglas para realizar operaciones básicas como la adición y la sustracción? 

 

 – En esta “economía de la representación”, debemos destacar diversas nociones, como por ejemplo: la utilización de agrupamientos, que permitió superar la mera notación por correspondencia uno a uno (la idea de agrupar constituyó un primer paso en la economía de la representación); la utilización del principio de la base, que convirtió los agrupamientos en regulares (los sistemas de base son sistemas de agrupamientos regulares, donde el número de elementos que se agrupa es igual al número de símbolos en la escritura); el valor posicional de las cifras, que ha sido el principio fundamental para la economía en la notación numérica pues permitió comunicar en la escritura la representación de los valores de cada cifra, de tal manera que el número 8437 resume esta información       

                                                                                                                 

Aquí es oportuno establecer nuevos interrogantes para evaluar las secuencias didácticas que pensamos y llevamos a cabo, por ejemplo: ¿Qué experiencias en relación a la utilización de agrupamientos planteamos? ¿Posibilitamos la identificación del agrupamiento de diez como una opción valiosa que permite efectuar conteos y cálculos con mayor eficacia? ¿Permitimos la comparación con otros agrupamientos para potenciar los beneficios que implican los agrupamientos de diez (obviamente estos beneficios asociados a que el sistema que utilizamos se basa en estos agrupamientos)? ¿Qué discusiones posibilitamos sobre el análisis del valor posicional de las cifras?

 

Hemos compartido interrogantes que se reiteran, que se intersecan, con la intención de permitir un camino de profundización hacia el análisis de nuestras prácticas. Hemos compartido algunas ideas que ponen de manifiesto lo complejo que es el sistema de numeración decimal y, en consecuencia, su enseñanza y aprendizaje. Por este motivo, debemos tener muy presente que este proceso demandará establecer secuencias didácticas que inviten a las/os estudiantes a:

 – Enfrentar situaciones problemáticas que, tal como se expresa en Cuadernos para el Aula (p.20), involucren un desafío a los conocimientos matemáticos que poseen las/os estudiantes, pongan en juego las nociones que tienen disponibles, modificándolas y estableciendo nuevas relaciones. Para lograr esto será pertinente la elección de preguntas adecuadas que interpelen los conocimientos disponibles, que permitan la participación de todas/os, confiando en que todas/os se hallen involucradas/os, acompañando los conocimientos que surjan (producto del encuentro entre la situación problemática y las nociones que disponen las/os niñas/os) por medio de nuevas preguntas, nuevos desafíos. Aquí será absolutamente relevante que evaluemos aquellas situaciones que ofrecemos, aquellas preguntas que brindemos. Por esto, nos permitimos generar interrogantes tales como: ¿Puede ser un desafío para las/os estudiantes una situación cuya respuesta es única, cuya respuesta es un número? ¿Puede habilitar procesos reflexivos una situación cuya respuesta puede ser brindada por las/os estudiantes de forma inmediata? Si la situación debe tensionar las nociones que poseen las/os estudiantes ¿Todas/os la abordarán de la misma manera? Al ser obvia la respuesta negativa a esta pregunta, vale la pena continuar ¿Qué estrategias esperamos que aparezcan? ¿Qué pensamos hacer con la aparición de las mismas? ¿Pueden servir para generar un proceso de discusión que permita establecer acuerdos?

 

 – Elaborar conjeturas y validarlas. Si las/os estudiantes enfrentan la situación problemática y pueden ofrecer algunas ideas sobre la misma, es pertinente que estas ideas sean compartidas con las/os compañeras/os, que sean “puestas a prueba” a la mirada de las/os demás. Por esto, tal como se expresa en la Serie Cuadernos para el Aula (p. 28), habrá que dar lugar a un intercambio del que participen todas/os, en el que se vayan explicando las diferentes aproximaciones al conocimiento, debatiendo sobre las mismas, valorando todas las producciones, animando a dar razones de lo realizado, a explicar por qué hicieron lo que hicieron y pensaron lo que pensaron. Aquí será necesario brindar algunas aclaraciones: 

 

En primer lugar, esta tarea no es sencilla ni ordenada. En general las/os niñas/os no exponen claramente las ideas, les cuesta aceptar que se equivocan y escuchar que otra/o compañera/o tiene una propuesta mejor. No obstante, deben enfrentar estas situaciones, deben vivenciar estas experiencias para crecer al respecto. Mientras más oportunidades posean de hablar y escuchar, tendrán más posibilidades de realizar esto correctamente, tendrán más chances de convivir con las/os demás. 

 

En segundo lugar, es necesario expresar que el formato no presencial ocasiona una barrera enorme para lograr este cometido. No obstante, acontece la ocasión para preguntarnos: ¿Podemos construir nuevos espacios para compartir lo pensado? ¿Serán los audios, las llamadas por teléfono, el compartir fotos en los grupos de Whatsapp, las reuniones por Meet en pequeños grupos, las videollamadas y otras opciones, las nuevas estrategias para generar debates? Pensando en los casos que no poseen conectividad ¿Podrá la/el docente compartir lo que piensan las/os estudiantes haciendo un resumen de imágenes, ideas y resoluciones que pudo recoger en las producciones entregadas? ¿Será este material una nueva oportunidad para discutir, planteando por ejemplo “Qué estrategia te resulta más fácil y por qué”?

 

 – Utilizar representaciones para comunicar las ideas y los acuerdos. Hay representaciones establecidas en el mundo matemático que las/os estudiantes deben aprender en el transcurso de su escolaridad primaria. Debemos tener en cuenta que las mismas no son el objeto matemático que están construyendo, sino que lo representan de diferentes maneras. Las/os niñas/os construirán sus propias representaciones que, paulatinamente, la/el docente pondrá en discusión para que se acerquen a las convenidas en el “mundo adulto”. En este sentido, tal como se expresa en la Serie Cuadernos para el Aula (p. 23), “la posibilidad de avanzar en la comprensión de una noción implica reconocerla en sus distintas representaciones pudiendo elegir la más conveniente y pasar de una a otra en función del problema a resolver”. Por esto, es necesario que la/el docente ofrezca oportunidades para que compartan las representaciones que van apareciendo en relación a los números, representaciones que podrán ir desde lo concreto, lo gráfico, lo oral y lo escrito. Esto que parece tan sencillo para la mirada adulta, es un proceso que debemos sistematizar y problematizar generando preguntas, como por ejemplo: cuando las/os niñas/os se enfrentan a una cantidad de elementos ¿No es esa colección de objetos una representación de su cantidad? ¿Un dibujo adecuado de esta colección representaría de otra manera esta cantidad? ¿Un dibujo que tenga tantas cruces como objetos de dicha colección es la misma representación? ¿Decir que hay muchos, que hay más que…, que hay menos de…, que hay trece, son maneras diferentes de representar esa cantidad? ¿Qué tienen de diferente y qué de parecido? Preguntas como estas nos permiten iniciar un camino de reflexión y, si producto de esta reflexión, planteamos actividades que convoquen la discusión y el análisis de las representaciones que utilizan las/os niñas/os, estaremos ofreciendo un mejor camino para la comprensión del sistema de numeración. Por esto, de acuerdo a Cuadernos para el Aula (p. 24), es preferible que la necesidad de usar otra representación sea descubierta por cada estudiante, frente a la insuficiencia de una representación anterior. Otra cuestión valiosa a analizar es la utilización de material concreto como representación del objeto matemático, este punto es discutido por varias/os autoras/es, no obstante es una posibilidad que consideramos propicia siempre y cuando el material se asocie con la problemática, surja de la misma y represente aquello que se está discutiendo, aquí deberemos entender que muy poco concreto será la utilización de palitos cuando estamos queriendo representar cantidades relacionadas con golosinas, dinero u otra cuestión.

 

Finalmente, brindamos esta apreciación de los Cuadernos para el Aula: 

“Al plantear los problemas, deberemos promover que la representación que cada alumno utilice sea una forma de expresar lo que está pensando, y que el debate posterior a las producciones sobre la pertinencia y economía de estas permita su evolución hacia las representaciones convencionales.

Cuando los chicos van avanzando en su disponibilidad de diferentes formas de representación de una misma noción, será conveniente que sean ellos los que elijan una u otra, en función de la situación que intentan resolver.

Que los alumnos vayan evolucionando desde las formas personales que usan para resolver los problemas hasta las convencionales que se utilizan en Matemática será una tarea a largo plazo”. (p. 25)

 

4- RESOLVEMOS, CREAMOS Y PROPONEMOS:

Ranaldo tiene un hermoso pasatiempo, le encanta caminar por la orilla del río y juntar piedras. A muchas/os les gusta juntar figuritas, chapitas, hojas de árboles secas, cartas, recortes de diarios, letras de canciones, fotos, mensajes, etc. ¿A vos te gusta juntar cosas? Cuéntanos qué cosas juntás o te gustaría juntar.

 

Ranaldo se entusiasmó juntando piedras. Mirá lo que le pasó en esta aventura:

https://youtu.be/PTwFIzn5bZQ

PARA PENSAR: ¿Cómo podría contar Ranaldo para que no aparezcan las rimas? ¿Cómo podría contar sin “decir” los números?

PARA COMPARTIR: Pensá estas preguntas con tus compañeras/os, envíales mensajes, llámalos por teléfono para comunicar las ideas.

 

ACLARACIÓN: Esta situación problemática ubica a las/os niñas/os ante la necesidad de pensar cómo podemos contar sin “usar la serie oral” y su objetivo es que las/os estudiantes pongan en correspondencia biunívoca al conjunto de piedras que juntó Ranaldo con otro conjunto que pueda representar su cantidad. La intención es que aparezcan diferentes ideas, distintas ocurrencias propias de la infancia. Por supuesto, se deberá convocar a que, finalmente, la correspondencia se realice con la serie numérica escrita, registrada en algún portador numérico. 

Por ejemplo, algunas alternativas serían: que Ranaldo escriba, debajo de cada piedra, el número que le corresponde en la serie; que ubique a las piedras en una cinta métrica o en un calendario, debajo del número conveniente. De esa forma tendría lo siguiente:

 

 

¡Ranaldo juntó 10 piedras! Y se puso a pensar… ¿Qué cosas hay en mi casa que lleguen a 10? ¿Y que se pasen de 10? 

 

¡Sería genial que lo ayudés desde tu casa! Buscá y completá:

En mi casa tengo 10 o más…

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Ahora vamos a jugar con Ranaldo a ordenar las 10 piedras de muchas formas. ¡Quien arme más será el ganador!

Armá con las 10 piedras dos hileras, como las que observás en la foto:

¿Cuántas piedras hay en cada hilera?

Realizá todas las formas que puedas y veremos quién hizo más.

 

PARA COMPARTIR: Enviá un mensaje a tu docente contando todas las formas que hiciste, por ejemplo:

 

CON LAS 10 PIEDRAS HICE UNA HILERA DE 3 PIEDRAS Y OTRA HILERA DE 7 PIEDRAS.

 

CON LAS 10 PIEDRAS HICE…

 

CON LAS 10 PIEDRAS HICE…

 

PARA PENSAR: Ranaldo se pregunta: si armé una hilera de 4 piedras y otra de 5 piedras, ¿formé 10?

Brindale muchas opciones para que forme 10 piedras.

Ranaldo se sorprende y dice: ¡De cuántas maneras podemos formar 10 piedras!

Quiere hacer una tabla para recordar, completala junto a él:

 

PARA PENSAR: ¿Y si jugamos con tres hileras? Ahora realizá lo mismo pero haciendo tres hileras, por ejemplo:

 

 

PARA COMPARTIR: Decile a tu compañera/o todas las formas que hiciste, por ejemplo:

CON LAS 10 PIEDRAS HICE UNA HILERA DE 3 PIEDRAS, OTRA DE 1 PIEDRA Y OTRA DE 6 PIEDRAS.

 

CONCLUIMOS: ¡Ranaldo aprendió a contar hasta 10! ¡Vamos a escucharlo! 

https://drive.google.com/file/d/16Kq9RXdfZpf01_nuBceCGvFIp532nq3u/view?usp=sharing

 

¡Además aprendió muchas formas diferentes de formar al número 10!

CONTINUACIÓN DE LA SECUENCIA:

Ranaldo salió a juntar piedritas y consiguió todas estas:

PARA PENSAR: ¿Cómo puede hacer para saber cuántas piedras juntó? (Recuerda que Ranaldo aprendió a contar solamente hasta 10).

PARA COMPARTIR: Pensá todas las maneras que puedas y comunicate con tus compañeras/os para comparar las ideas. Pónganse de acuerdo cuáles serían las mejores ideas y por qué. Luego, informen las mismas a la/el docente.

Después de escuchar y valorar las diferentes ideas compartidas, esperamos que una alternativa muy interesante que surja es que Ranaldo arme con las piedras grupos de 10. Por ejemplo: armando bolsitas de papel (para cuidar el medio ambiente) con 10 piedras cada una. De esa manera, va a poder conocer cuántos grupos de 10 piedras juntó (bolsitas) y cuántas piedras sueltas le quedan aún.

 

Algo así:

 

Entonces Ranaldo puede decir que juntó 4 bolsas de 10 piedras cada una y 3 piedritas más.

Ahora, tal como contaría Ranaldo, contá en tu casa un grupo de piedras, un grupo de masitas, un grupo de fideos, un grupo de botones, un grupo de lápices. Armá bolsitas de papel con 10 y completá:

 

PARA COMPARTIR Y CONCLUIR: Escribí un mensaje de texto o pedí a algún familiar que lo escriba, expresando cómo aconsejamos a Ranaldo contar las piedras. El mensaje puede comenzar así:

Para contar las piedras le dijimos a Ranaldo que … .. ……………………………….. ………………………… ….……… …………………………..

 

 

 

Mostrá con un dibujo cómo cuenta Ranaldo estas piedras.

PARA PENSAR: Ahora tratá de contestar:

¿Qué le hace falta a Ranaldo para saber contar más de 10?

¿Qué le puede resultar más fácil: contar desde el 10 al 20 o contar del 20 al 30? ¿Por qué?

¿Qué relación hay entre la manera de contar de Ranaldo y los números?

Para tratar de responder estas preguntas te invitamos a armar tu “banda numérica”. Para ello tomá 10 hojas que estén escritas para reutilizar y dividilas en cuatro partes, de esta forma:

 

                                            

Recortalas y comenzá a escribir con un fibrón los números en cada recorte, en forma ordenada: 1, 2, 3, … y andá pegando los recortes con los números escritos para que te quede de esta forma (para copiar los números puedes ayudarte de una cinta métrica, de un calendario o de las páginas de un libro):

 

Una vez hecho esto, tendrás tu banda numérica con la cual podrás relacionar la cantidad de objetos que quieras contar con la forma correcta de escribir el número que indica dicha cantidad.

Ahora, te pedimos que vuelvas a contar los fideos, los botones, las masitas, los lápices utilizando la banda numérica, colocando lo que querés contar uno a uno debajo de cada número de la banda numérica. Cuando no tengas más objetos que poner, el último número te indicará la cantidad que tenés.

 

Luego de que hayas hecho lo anterior, volvé a armar bolsas de 10 y observá la relación que hay entre la escritura del número con la cantidad de bolsas y los objetos sueltos que quedaron, por ejemplo:

Supongamos que tenés todos estos botones:

 

Entonces los ubicarás uno a uno en la banda numérica de esta manera:
 

 

Podrás ver que la cantidad de botones es 14, porque ocupaste uno a uno los lugares correspondientes a esos números y el último indica “el fin de tu cuenta”.

Si armás bolsas de 10 botones con los 14 botones, te quedaría lo siguiente:

 

                                                   

                                              1 bolsa con 10 botones y 4 botones sueltos

 

Realizá esto con otras cantidades de botones, de fideos, de lápices e intentá responder la siguiente pregunta:

PARA PENSAR: ¿Qué tienen de parecido la escritura del número y la cantidad de bolsas y objetos sueltos que quedan? ¿Cómo se nombran los números después del 10? ¿Y después del 20?

 

PARA COMPARTIR: Conversá con tus compañeras/os las respuestas y, luego de esto, envíen un mensaje a la/el docente sobre lo que acuerden.

 

Esperamos que lleguen a conclusiones como las siguientes: 

• Si el número está formado por dos dígitos, el primero indica la cantidad de bolsitas de 10 y el segundo la cantidad de elementos que quedaron sueltos.
• La forma de nombrar los números desde el 10 al 15 es diferente, por ejemplo, a la que poseen desde el 20 al 25, desde el 30 al 35.

 

ACTIVIDADES PARA APLICAR LO APRENDIDO: 

1 . ¡Ranaldo tiene su banda numérica!

 

 

UBICÁ EN LA BANDA DE RANALDO HASTA DÓNDE LLEGARÍA SI TIENE…

• 3 bolsas y 2 piedras sueltas
• 2 bolsas
• 1 bolsa y 8 piedras sueltas
• 3 bolsas y 7 piedras sueltas
• 2 bolsas y 5 piedras sueltas

¿Podés leer cada cantidad? Ayudate con la banda diciendo los números uno a uno.

 

2 . Ranaldo puede ver que la banda numérica indica estas cantidades:

• 17
• 30
• 24
• 12
• 31

 

Leé estos números. 

Dibujá la cantidad de bolsas y las piedras sueltas de cada situación. 

 

3 . ¿Dónde tiene más cantidad?

 

• 3 bolsas                          2 bolsas y 8 piedritas

 

• 9 piedritas                      1 bolsa y 3 piedritas

 

• 2 bolsas y 1 piedrita       1 bolsa y 9 piedritas

 

• 8 piedritas                       1 bolsa

 

4 . ¿Dónde tiene más cantidad?

 

• 30                                 28

 

• 9                                   13

 

• 21                                 19

 

• 8                                   10

 

¿Qué diferencia notaste en estos dos ejercicios?

 

5 . ¿Cómo te das cuenta cuando una cantidad es mayor que otra?

 

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6 . Envía un audio a tu maestra/o indicando el nombre de los números de tu banda numérica.

 

7 . PARA CONCLUIR:

 

Decile a un familiar tuyo lo que aprendiste junto a Ranaldo. Que lo escriba aquí: 

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5- BIBLIOGRAFÍA:

• Lerner, D; Sadovsky, P; Wolman, S. (1994). El sistema de numeración: un problema didáctico. En Parra, C y Saiz, I. (comps.): Didáctica de las matemáticas. Aportes y reflexiones. Buenos Aires: Paidós.
• Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación (2004). Núcleos de Aprendizajes Prioritarios. 1º Ciclo EGB / Nivel Primario. Matemática. Buenos Aires, Argentina.
• Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación (2006). Serie cuadernos para el aula: Matemática 1. Buenos Aires, Argentina.
• Quaranta, M. E.; Tarasowo, P.; Wolman, S. (2003). Aproximaciones parciales a la complejidad del sistema de numeración: avances de un estudio acerca de las interpretaciones numéricas. En Panizza, M. (comp.): Enseñar matemática en el nivel inicial y el primer ciclo de la EGB. Análisis y propuestas. Buenos Aires: Paidós.
• Terigi, F.; Wolman, S. (2007). Sistema de numeración: consideraciones acerca de su enseñanza. Revista Iberoamericana de Educación. Nº 43.

Agradecemos al Prof. Alejandro Alessi, miembro del Equipo Pedagógico de la Subsecretaría de Primaria.