Acción Formativa N°57: «Ranaldo construye el cuadro de números»

Módulo Identidades, Cultura y Sociedad
 

1- INTRODUCCIÓN:

Queremos compartir una secuencia didáctica como continuación de la Acción Formativa N° 51, con la intención de continuar reflexionando sobre la enseñanza del sistema de numeración decimal en Primer Grado. En este caso, trataremos de ofrecer una situación problemática que provoque la identificación de algunos obstáculos en relación a la utilización de la banda numérica, este recurso tan valioso para el Nivel Inicial y para el inicio de primer grado, que permita apreciar las ventajas del cuadro de números.

Como hemos mencionado en la propuesta anterior, el marco de referencia metodológico está basado en un enfoque constructivista, asociado con la Teoría de las Situaciones Didácticas, que puede observarse en la serie Cuadernos para el Aula y en propuestas de numerosas autoras y numerosos autores que trabajan, hace tiempo, desde estas miradas donde se interpreta que la aproximación al objeto matemático en cuestión, el sistema de numeración decimal, es un proceso que implica problematización, confianza, tiempo y un espacio genuino de discusión y validación de ideas.

La secuencia continúa vinculada al contexto que ofrece Ranaldo, este personaje tan simpático que nos invita, con sus aventuras y sus ganas de aprender, a descubrir y analizar algunas regularidades del sistema de numeración decimal que permiten profundizar las nociones ya abordadas de agrupamiento, valor posicional y representaciones orales y escritas de los números.

 

Lic. Nanci Noemí Alario

Subsecretaria de Educación Primaria.

 

2- RECORDAMOS ALGUNOS ACUERDOS:
 

Compartimos algunos objetivos que pueden abordarse en la presente propuesta. Es importante aclarar que, en su mayoría, coinciden con los de la propuesta anterior, debido a que estamos convencidas, convencidos que el proceso de aprendizaje de este objeto matemático implica tiempos adecuados, el respeto de los mismos, revisiones y profundizaciones continuas. Estos objetivos fueron redactados teniendo en cuenta los Núcleos de Aprendizajes Prioritarios de Primer Ciclo (Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología, 2004).

– Sostener y/o incrementar un sentimiento de confianza en las propias posibilidades para enfrentar problemas y formular interrogantes.

– Fortalecer una adecuada disposición para comunicar resultados y procedimientos, defender sus propios puntos de vista, considerar ideas y opiniones, debatirlas y elaborar conclusiones.

– Reconocer y usar diversas representaciones de los números naturales, fortaleciendo la designación oral y la representación escrita al determinar y comparar cantidades.

– Lograr aproximaciones hacia la organización decimal del sistema de numeración, identificando regularidades en la serie numérica para leer, escribir y comparar números.

– Iniciar y potenciar el reconocimiento y el uso de las operaciones adición y sustracción con distintos significados en la resolución de situaciones problemáticas.

 

3- COMPARTIMOS ALGUNOS SABERES:
 

Hemos tomado en consideración la complejidad del sistema de numeración decimal y cómo esta complejidad debe ser tenida en cuenta en la enseñanza de este objeto matemático. Además, analizamos y discutimos aquellos momentos y acciones valiosas que deberían aparecer en una propuesta didáctica, para que habilite espacios de construcción de conocimientos. En esta Acción Formativa, vamos a ofrecer la posibilidad de continuar reflexionando sobre un recurso muy utilizado en las instituciones educativas de nivel primario, el cuadro de números.

En primer lugar, queremos poner en consideración una idea que nos parece importante: si las niñas y los niños utilizan la banda numérica como recurso valioso para la identificación de números y para la resolución de situaciones, entre otras acciones; es prioritario que se enfrenten a los obstáculos que presenta este recurso para resolver nuevas situaciones. La banda numérica ofrece un campo numérico reducido a las condiciones físicas del aula, de la habitación donde se encuentra extendida. Por lo tanto, comenzar a brindar situaciones problemáticas que excedan los límites de la banda ocasiona el desafío de pensar qué otra herramienta puede utilizarse. Además, sabemos que la serie ordenada de números en forma lineal, como se ofrece desde la banda numérica, impide la posibilidad de la visualización de ciertas regularidades.

Por otro lado, creemos que la toma de decisiones de las mismas chicas, los mismos chicos, en torno a la elaboración de un nuevo recurso que permita superar las limitaciones de la banda numérica, posibilita ciertas interpretaciones, que no acontecen cuando el cuadro de números es ofrecido, sin intervenciones desde un libro, una fotocopia o un afiche. Por lo mencionado, creemos fundamental que la primera situación que se ofrezca en esta nueva propuesta tenga que ver con la transformación de la banda numérica en el cuadro de números.

Creemos necesario tensionar varias cuestiones sobre el cuadro de números, por ejemplo: ¿Tiene que aparecer el 0 (cero)? ¿Tiene que estar desde el principio? ¿Cuándo y cómo puede aparecer? ¿Para qué es necesario que el número 0 (cero) se encuentre en el cuadro? ¿Qué podemos pensar en relación al número 100? ¿Será conveniente brindar al número 100 desde el inicio o puede ser una buena oportunidad discutir sobre qué “viene” luego del 99? Aquí es dable seguir proponiendo lugares de reflexión, por ejemplo: La cantidad de agrupamientos de diez unidades (en la secuencia anterior, la cantidad de bolsas con piedras) se brinda con la cifra “que está antes” de la que indica la cantidad de unidades que queda sin agrupar (las piedras sueltas). En relación a esto podemos preguntar: ¿cuántos agrupamientos de 10 unidades podemos hacer?, ¿existe algún límite para realizar estos agrupamientos?, ¿qué ocurre si tengo 10 agrupamientos de 10 unidades (10 bolsas con 10 piedras)? Consideramos que es oportuno plantear estos interrogantes y otros posibles, para que niñas y niños amplíen el campo numérico y se acerquen a la idea de la centena y del valor que poseen las cifras que se encuentran en el lugar inmediato a las que indican cantidad de diez unidades (la cifra de las decenas, de los dieces). Este planteo creemos que sería posterior al trabajo sobre regularidades que se ofrece en la presente propuesta, por ese motivo, no aparece el número 100. Esta decisión es discutible y cada docente puede llevar a cabo la modificación que considere más favorecedora para el grupo que acompaña.

Sobre el trabajo de regularidades del sistema de numeración, invitamos a reflexionar sobre ideas muy valiosas que, desde la Serie Cuadernos para el  Aula, Matemática 1, Primer ciclo Nivel Primario (pág. 56-57), se proponen para trabajar en primer grado: 

– Que en la última cifra de los números que aparecen en el cuadro se da una secuencia siempre repetida de 0 a 9. Aquí invitaríamos a mirar y poner en palabras esta situación y animarnos a plantear si la creen curiosa, si les llama la atención. La idea es que puedan interpretar el vínculo de esta regularidad, por ejemplo, asociada con la cantidad de piedras sueltas que pueden quedar sin agrupar.

– Que la anteúltima cifra se mantiene igual para diez números y también cambia de 0 a 9. Esta situación del “cambio” no la percibirán de esta manera, las niñas y los niños visualizarán el cambio de 1 a 9 y será una linda oportunidad para reflexionar sobre el cero, la información no visible y no necesariamente visible. Por ejemplo, es posible preguntar ¿cuántas bolsas formamos si tenemos 8 piedras? ¿y si tenemos 7 piedras? Ante la posible respuesta: ninguna, (0 – cero), podríamos invitar a pensar al número 8 como 08 y al número 7 como 07 (ninguna bolsa y 7 u 8 piedras sueltas). Sólo ante casos como estos, niñas y niños podrían hablar que la cifra de la decena en el cuadro de números varía de 0 a 9. Aquí también aparece la oportunidad para “introducir” el número 0 (cero) en el inicio del cuadro de números y plantear: si no tengo piedras ¿qué número indicaría esta cantidad?

– Que si agrego 10 a cualquier número del cuadro, “voy al casillero de abajo” y aumenta en uno la anteúltima cifra. Aquí acontece la oportunidad de continuar tensionando el valor posicional de la cifra que representa la cantidad de bolsas que tenemos. Consideramos que es difícil que las chicas y los chicos puedan expresar o interpretar la expresión “anteúltima”, sería interesante que logren poner en palabras esta ubicación y la información que brinda. Esta regularidad les permitiría efectuar sobre-conteos más económicos (de diez en diez) y habilitaría la posibilidad de efectuar cálculos como 17+32 desplazándose en el cuadro de números, a partir del 17, tres lugares hacia abajo y dos hacia la derecha. En forma análoga se puede trasladar este procedimiento a las sustracciones. De esta manera, se podría aumentar las posibilidades de disponer de herramientas relacionadas con el dominio del cálculo.

– Que con el conocimiento de la serie oral pueden descubrir que los “veinti…” empiezan con 2, los “treinta…” con 3, etc. En este lugar, volvemos a mencionar un obstáculo ya analizado sobre cómo la serie oral no ayuda a las niñas y a los niños a interpretar las representaciones escritas de los números del 11 al 15, incluidos ambos.

– Que visualizar que los “veinti…” están antes que los “treinti…” permite comparar números.

 

4- RESOLVEMOS, CREAMOS Y PROPONEMOS:

¡Ranaldo aprendió muchas cosas! A contar, a armar grupos de 10 para hacer más fácil el conteo, a usar su banda numérica para saber cómo se escriben los números hasta el 40. Está muy feliz y con todas las personas comparte sus aprendizajes.

Hoy, hablando con su tía, le pasó algo curioso. Invitamos a mirar con mucha atención la situación que vivió Ranaldo:

¡Tenemos que ayudar nuevamente a Ranaldo y aprender junto a él!

¿Qué podemos hacer para que la banda no quede larguísima?

Seguramente aparecerá la idea de dividirla. Entonces invitamos a pensar en un nuevo interrogante:

¿Cuál sería la mejor manera de dividir la banda con todos estos números? ¿Por qué?

Pedimos a las niñas y a los niños que construyan una banda numérica hasta el 99. Para esto, pueden ayudarse como Ranaldo, utilizando algún portador numérico (observen que Ranaldo en el vídeo se ayuda de un libro). Luego, solicitamos que dividan la banda según crean conveniente y justifiquen por qué lo hicieron de esa manera. 

CONSTRUÍ TU BANDA NUMÉRICA HASTA EL 99.

DIVIDILA DE LA MEJOR MANERA POSIBLE.

ENVÍA MENSAJES A TUS COMPAÑERAS Y COMPAÑEROS CONTANDO LO QUE HICISTE. 

DECIDAN CUÁL ES LA MEJOR OPCIÓN E INDIQUEN POR QUÉ.

Cada docente tratará de reunir y valorar todas las ideas, poniendo en tensión las justificaciones que se ofrezcan. Aquí es necesario aclarar que pueden aparecer muchas maneras de dividir la banda, como las que se muestran en las siguientes figuras:

Posible división 1

 

Posible división 2

Posible división 3

                               Posible división 4

Compararíamos todas las opciones y trataríamos de concluir en relación a cuál ofrece mejores posibilidades de ubicar los números, de detectarlos rápidamente, de compararlos, etc.

Suponemos que coincidirán que la mejor opción es la que se encuentra en la última figura, la que tiene el formato del “cuadro de números”. Una vez identificado esto, proponemos que envíen a Ranaldo un audio, un mensaje de texto, una foto con una nota o un escrito, contando lo que descubrieron. Podría comenzar así:

¡HOLA RANALDO! HICIMOS UNA DIVISIÓN DE LA BANDA Y ARMAMOS UN CUADRO. ALLÍ PUEDES VER QUE………………………………………………………………………………………………..

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Esperamos que puedan poner en palabras aproximaciones a ciertas regularidades como las siguientes:

– En la primera fila están las cantidades menores a una bolsa de piedras.

– En la segunda fila aparecen cantidades con las que formamos una bolsa y algunas piedras.

– En la tercera fila aparecen cantidades que tienen dos bolsas y algunas piedras, es decir aparecen “los veinti…”

– En la cuarta fila….

– En cada columna tenemos la misma cantidad de piedras sueltas.

– El primer número de cada fila indica la cantidad de bolsas.

– El primer número de cada columna indica la cantidad de piedras sueltas que tenemos.

Vamos a indicar a Ranaldo cómo transformar su banda numérica en el “cuadro de números”. Para esto debe cortar la banda luego de cada número terminado en 9. Una vez hecho esto, debe colocar cada “tira” debajo de la otra, de tal forma que queden las características (regularidades) que anteriormente compartieron las niñas y los niños.

A continuación, puedes ver a Ranaldo armando su “cuadro de números”:

http://www.youtube.com/embed/52yMJBImyf8

Ahora vamos a utilizar el cuadro de números para contar las piedras que tiene Ranaldo:

Tratamos de reflexionar con las siguientes preguntas:

¿Qué ocurre cuando ponemos en el cuadro todas las piedras de la primera bolsa?

¿Qué ocurre cuando ponemos todas las piedras de la segunda bolsa?

¿Qué ocurre cuando ponemos todas las piedras de cada bolsa?

¿Podríamos encontrar el número más rápido? (sin tener que colocar una a una todas las piedras)

Ahora Ranaldo aprendió a usar el cuadro de números, sabe que si juntó 6 bolsas con 10 piedras cada una y 3 piedras más, la cantidad de piedras que tiene la encuentra ubicando las bolsas y las piedras de esta manera:

Va colocando las bolsas enteras en la primera columna, como sabe que tiene 10 en cada una, puede ir contando de diez en diez. Una bolsa son diez piedras, dos bolsas son veinte piedras, 3 bolsas son treinta, 4 bolsas son cuarenta, 5 bolsas son cincuenta, 6 bolsas son sesenta. Entonces puede ir diciendo así:

DIEZ

VEINTE

TREINTA

CUARENTA

CINCUENTA

SESENTA

Luego, va colocando las piedras sueltas, ahora en forma horizontal y continúa contando, teniendo que recordar que ya tiene SESENTA. Por lo tanto, dirá:

SESENTA Y UNO

SESENTA Y DOS

SESENTA Y TRES

 

Ahora, te pedimos que escribas con palabras el número que le corresponde a cada una de las siguientes cantidades:

 

Miren la situación curiosa que le pasó a Ranaldo:

Vimos anteriormente que había juntado 6 bolsas y 3 piedritas, descubrimos que el número de piedras que juntó es SESENTA Y TRES. Ranaldo ubicó las 63 piedras en el cuadro de números y su tía le trajo una bolsa con diez piedras ¿Cómo utiliza el cuadro para averiguar cuántas tiene ahora?.

Es importante abrir un espacio de escucha sobre aquello que expresen las niñas y los niños, tratando de generar nuevas preguntas como por ejemplo: ¿Qué cosa curiosa ocurre? Si tuviera 74 y agrega una bolsa: ¿Pasa lo mismo? ¿Y si quita una bolsa?

Tal vez, para ayudar en la reflexión se pueda brindar un proceso como el siguiente:

UBICATE EN CUALQUIER NÚMERO DE LA FILA DE “LOS CUARENTA”. AGREGÁ 10 PIEDRAS A PARTIR DE ESE NÚMERO ¿QUÉ PASÓ? 

REALIZÁ ESTO CON VARIOS NÚMEROS DE LA FILA DE “LOS CUARENTA” ¿PASA LO MISMO?

COLOCÁ EN EL CUADRO DE NÚMEROS UNA CANTIDAD DE PIEDRAS QUE ESTÉ ENTRE TREINTA Y CUARENTA. QUITÁ 10 PIEDRAS ¿QUÉ OCURRE?

REALIZÁ LO MISMO CON TODOS LOS NÚMEROS QUE PUEDAS ¿PASA LO MISMO?

Comparte lo que descubriste con tus compañeras y compañeros, ¿coinciden? ¿qué descubrieron entonces?

Esperamos que puedan arribar a conclusiones como las siguientes:

– Al agregar 10 piedras a una cantidad (menor que 90) en el cuadro de números, nos ubicamos debajo de esa cantidad.

– Al quitar 10 piedras a una cantidad (mayor que 10) en el cuadro de números, nos ubicamos arriba de dicha cantidad.

– Al bajar o al subir en el cuadro de números vamos de 10 en 10.

Ahora jugamos con Ranaldo y enfrentamos desafíos:

1…Ranaldo soñó que su cuadro de números se rompió y quedó así:

¿Cómo podría ubicar las piezas? ¿qué tendría que tener en cuenta para armar este “rompecuadro”?

2…Ranaldo ubicó algunas piedras grandes en el cuadro y tapan los números. ¿Qué número se encuentra detrás de cada piedra? ¿Cómo puede darse cuenta?

3…Ranaldo tiene que enfrentar estas situaciones problemáticas. Comenta con tus compañeras y compañeros qué podría hacer.

Situación 1: Tenía 23 piedras y su tía le regaló 14.:¿Cuántas tiene ahora?

Situación 2: Ayer juntó 17 piedras y hoy 12: ¿Cuántas juntó entre los dos días?

Situación 3: Hoy juntó 46 piedras y perdió 4 en el camino: ¿Cuántas le quedan?

Situación 4: Ranaldo tiene 35 piedras y su tía tiene 42 :¿Quién tiene más? ¿Cuántas más?

Situación 5: Ranaldo tiene 35 piedras y su tía tiene 42 ;¿Cuántas tienen?

4…Luego de discutir sobre cómo utilizar el cuadro de números para tratar de dar respuestas a estos problemas, se puede plantear un análisis de los mismos, identificando diferencias y similitudes. Aclaración: la intención es que se enfrenten a situaciones asociadas a diferentes sentidos del campo aditivo (transformaciones, composiciones y relaciones).

 

5- BIBLIOGRAFÍA:
 

– Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación (2004). Núcleos de Aprendizajes Prioritarios. 1º Ciclo EGB / Nivel Primario. Matemática. Buenos Aires, Argentina.

– Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación (2006). Serie cuadernos para el aula: Matemática 1. Buenos Aires, Argentina.

– Quaranta, M. E.;Tarasowo, P.; Wolman, S. (2003). Aproximaciones parciales a la complejidad del sistema de numeración: avances de un estudio acerca de las interpretaciones numéricas. En Panizza, M. (comp.): Enseñar matemática en el nivel inicial y el primer ciclo de la EGB. Análisis y propuestas. Buenos Aires. Paidós.

Agradecemos la colaboración de Mariela Pagani y Alejandro Alessi, integrantes del Equipo Pedagógico de la Subsecretaría de Nivel Primario.

 

Subsecretaría de Educación Primaria.