Módulo: Identidades, Cultura y Sociedad

Acciones Formativas N°34: "Alfasueños 3, la medida como encuentro entre las fracciones y el cálculo mental".

Queridos compañeros y compañeras supervisores, supervisoras, equipos directivos, docentes y familias:

Llegamos a ustedes con algunas ideas, intervenciones posibles y sugerencias para la propuesta “Seguimos aprendiendo en casa: Cuaderno “Alfasueños 3” destinado a los chicos y chicas de 5º, 6º y 7° grado. En este caso, desde el área Matemática, para entramar las secuencias y fundamentar algunas decisiones. Nuestra intención es aportar acciones a  la tarea docente en este proceso de mediaciones de los aprendizajes, hasta que sea tiempo de volver a encontrarse en el aula convencional.

Prof. Lic. Nanci Noemí Alario.

Subsecretaria de Nivel Primario.

INTRODUCCIÓN

El área Matemática de “Alfasueños 3” continúa con la lógica de ubicar todas sus actividades al final del Cuaderno con el objetivo de reconocer la secuencia de acciones alrededor de las competencias que se quieren desarrollar. Esto no implica que se realicen en los últimos días, sino que pueden intercalarse con las actividades diarias de las otras áreas, según las necesidades que se descubran en cada grupo de estudiantes.

Se espera que las secuencias de este Cuaderno se resuelvan con un grado de autonomía creciente, requiriendo cada vez menos mediaciones por parte de los que habitan con los niños y las niñas. Sólo se sugiere la presencia de algún otro participante para jugar en una de las propuestas. Como todo juego, será necesario repetirlo muchas veces para que el conocimiento circule antes de obtener conclusiones. 

Las situaciones están pensadas para que puedan ser resueltas con diferentes tipos de cálculo y con mecanismos no convencionales, si aún no se dispone de ellos. Sería importante sugerir a los niños y niñas la posibilidad de tantear resultados, resolver con procedimientos propios, usar la calculadora para verificar en los casos que sea necesario. Se han abordado diferentes cuestiones referidas a las magnitudes priorizando tipos de actividades que fomenten la medición efectiva en las que se pongan en juego las unidades, las equivalencias, la pertinencia de los distintos instrumentos y la comunicación de las medidas.

Pensando en la progresión de contenidos entre quinto y séptimo grado, el Cuaderno presenta una lógica de actividades “inclusiva” que se señala al iniciar cada recorrido, en el cual las primeras actividades podrían ser resueltas por un niño o niña de quinto, sexto y/o séptimo grado. De esta manera, se recomienda esta modalidad para vincular con conocimientos previos disponibles. Las siguientes corresponden a cuestiones que circulan en sexto y/o séptimo grado y las últimas -sobre todo por el campo numérico y las operaciones implicadas-, a séptimo grado. Esta intervención tendrá que hacerla cada docente para una optimización del uso de las problemáticas que se presentan. Sin embargo, puede representar un desafío que deberá evaluarse para establecer si los niños y niñas continúan con la resolución de las actividades previstas para grados superiores.

RECORDAMOS ALGUNOS ACUERDOS

“Proponer una secuencia anual no implica perder de vista la importancia de observar con atención y ayudar a construir los niveles de profundización crecientes que articularán los aprendizajes prioritarios de año a año en el ciclo. Deberá enfatizarse en los criterios de progresividad, conexión vertical y horizontal, coherencia y complementariedad de aprendizajes prioritarios” (M.E.N, 2007, pág.13). En este sentido, creemos que en estos momentos inéditos que nos tocan vivir, la articulación al interior de cada ciclo resultará fundamental para favorecer la continuidad pedagógica y la trayectoria escolar de cada niño y niña.

Seleccionamos algunos Núcleos de Aprendizajes Prioritarios:

 

1- La diferenciación de distintas magnitudes y la elaboración de estrategias de medición con distintas unidades en situaciones problemáticas que requieran:

-estimar, medir efectivamente y calcular longitudes, capacidades, y pesos usando unidades convencionales de uso frecuente y medios y cuartos de esas unidades.

-usar el calendario y el reloj para ubicarse en el tiempo y determinar duraciones. 

-comparar y calcular cantidades de uso social habitual estableciendo equivalencias si la situación lo requiere.

 

2-El reconocimiento y uso de fracciones y expresiones decimales de uso social habitual en situaciones problemáticas que requieran: 

-interpretar, registrar o comparar el resultado de una medición, de un reparto o una partición a través de distintas escrituras con fracciones.

 

3-El reconocimiento y uso de las operaciones en situaciones problemáticas que requieran: 

-elaborar y comparar procedimientos de cálculo –exacto y aproximado, mental, escrito y con calculadora–  analizando la pertinencia y economía del procedimiento en relación con los números involucrados.

 

COMPARTIMOS ALGUNOS SABERES

 

La medida comprende distintos tipos de tareas, según las acciones que involucren:

 

“-Medir efectivamente: es importante que la escuela se ocupe de la medición efectiva y, con ello, nos referimos a que los alumnos se encuentren frente a situaciones y problemas en los cuales deben medir objetos.  

-Medir un poco y hacer cálculos: la escuela debe generar situaciones de enseñanza en las cuales se recurra a la medición efectiva y, con la medida obtenida, realizar los cálculos.

-Sólo hacer cálculos: en este tipo de situaciones el objeto se materializa, el número que indica una medida del objeto está dado por el problema” (INFD, 2016, pág.12).

 

¿Por qué enseñar las relaciones de equivalencia entre medidas? Las conversiones de una unidad a otra no son un fin en sí mismas. Es necesario plantear actividades en las que se puedan establecer relaciones entre las unidades. En este sentido, en el Cuaderno planteamos un juego para trabajar equivalencias entre las unidades de longitud, el uso de portadores sociales con unidades de circulación social -la pulgada- y problemas con medidas de tiempo. 

 

Abordamos el tiempo como un sistema complejo y no regular de medida, resaltando dos tipos de tareas que se deben poner en juego al enfrentarse a las mismas: la lectura en el reloj digital y en el de dos agujas, como así también, la medida del transcurso de tiempo. Algunos aportes sobre este contenido, sugieren: “También se incluirán situaciones que involucren la interpretación de diferentes formas de expresar tanto las horas (14 horas o 2 p.m.) como los minutos (1/2 hora, 30 minutos o 30´). […] Estos problemas se podrán referir a actividades cotidianas, datos históricos, etc., y la información podrá tomarse de portadores habituales, como carteleras de espectáculos, agendas, carteles con horarios de funcionamiento o atención de algún comercio, consultorio, etcétera” (M.E.N, 2007, pág.129).

 

Por último, queríamos compartir un aporte de Chamorro (2003) que nos permite seguir pensando la enseñanza de este tópico: “No hay una relación clara entre las demandas sociales y culturales relativas a la medida y la transposición didáctica que se hace de la misma en la enseñanza, en la que se evitan las prácticas efectivas de medición, lo que convierte la enseñanza de la medida en un discurso teórico, que versa fundamentalmente sobre cuestiones aritméticas más que de medida. Los ciudadanos hacen, en general, una mala utilización de los instrumentos de medida y encuentran dificultades en los cálculos con medidas, de longitud y dinero, fundamentalmente, sin que la escuela haga nada por cambiar este estado de cosas”.

 

En cuanto a las fracciones y sus significados, Block (2001) plantea que : “Hace ya más de dos décadas se empezó a prestar atención a la diversidad de significados que la noción de fracción asume cuando se la considera en el contexto de los problemas específicos que permite resolver (Kieren, 1976; Kieren, 1988; Ohlsson, 1988; Behr, et.al, 1992) […] tiende a haber consenso en cuanto a la pertinencia de distinguir cinco significados a saber: parte-todo; cociente, razón, operador y medida. También hay cierto nivel de consenso en cuanto a la necesidad de favorecer progresivamente la apropiación por los alumnos de estos significados específicos, en aras de lograr una comprensión cabal de la noción de número racional” (p.6). Al analizar los NAP, notamos la prioridad que se le da a los significados con un tratamiento que pone el acento en las fracciones como instrumento de resolución de diferentes situaciones en el contexto de medida, de reparto y de proporcionalidad. 

 

En cuanto a la fracción en el contexto de medida, lo que realizamos al medir es determinar el número de veces que está contenida la unidad de medida en el objeto. Pero, cuando la unidad de medida no cabe un número entero de veces en lo que medimos, los números naturales no nos permiten expresar con exactitud la medida y la solución es fraccionar la unidad de medida.

El interés por trabajar con situaciones de reparto está dado porque presenta interesantes cuestiones didácticas, como bien lo expresa Block (2001): 

“[…] los problemas ponen en juego varias unidades y no una sola, permiten que el resultado fraccionario sea mayor o menor que la unidad, permiten expresar el resultado con escrituras aditivas diferentes […]. Es posible ir un poco más lejos y plantear como objetivo que los alumnos, además de constatar que la división a unidades entre b arroja como cociente al quebrado a/b de unidad, comprendan y anticipen la necesidad de dicho resultado. El lograr esta anticipación, si bien no significaría que en ese mismo momento los alumnos se apropien del significado de las fracciones como cociente, sí permitiría tender un puente hacia dicha concepción.” (p.10).

En las situaciones de proporcionalidad es posible y deseable trabajar la expresión “de” en tanto razón y en tanto operador multiplicativo. En tanto razón, “esto permite tratar un nuevo "costado" de la noción de equivalencia de números racionales: en el contexto de medida, dos fracciones son equivalentes porque "representan la misma cantidad"; en cambio en estas situaciones, representan la misma "relación" (por ejemplo, el mismo porcentaje o la misma velocidad)” (Sadovsky, 2005, p.35). En tanto operador multiplicativo, se proponen problemas donde la constante de proporcionalidad es fraccionaria y transforma una cantidad de una magnitud en su correspondiente de otra magnitud, mediante la multiplicación.

 

RESOLVEMOS, CREAMOS Y PROPONEMOS

 

Otras acciones que podemos proponer para ampliar y profundizar los conceptos que circulan en “Alfasueños 3”, teniendo en cuenta las posibilidades del distanciamiento y las necesidades en la construcción de cada conocimiento, pueden ser:

• Proponer actividades de cálculo mental con fracciones usuales. 

El cálculo mental, refiere al "conjunto de procedimientos que, analizando los datos por tratar, se articulan sin recurrir a un algoritmo preestablecido, para obtener resultados exactos o aproximados. Es decir, se caracteriza por la presencia de una diversidad de técnicas que se adaptan a los números en juego y a los conocimientos (o preferencias) del sujeto que las despliega. […] La distinción entre cálculo algorítmico y cálculo mental no reside en que el primero sea escrito y el segundo no se apoye en el uso de lápiz y papel. El cálculo algorítmico utiliza siempre la misma técnica para una operación dada, cualquiera sean los números. En cambio, cuando se propone un trabajo de cálculo mental no se espera una única manera posible de proceder. […] (Wolman, 2006, pág. 12)

Ambos tipos de cálculo no se oponen, sino que se espera que se alimenten uno de otro y que, progresivamente, cada sujeto pueda ser un usuario inteligente de cada uno. En este sentido es que queremos proponer un trabajo con cálculos mentales con fracciones usuales. En este tiempo de distanciamiento social, sin intercambio directo con el grupo de clase, estamos convencidos de que esta tarea redundará en mejores aproximaciones al cálculo escrito y sus propiedades.

Una posibilidad es utilizar relaciones de proporcionalidad directa en situaciones en las que la constante de proporcionalidad sea ¼ ó ½ , en contextos de medida sencillos, en los que explícitamente se proponga a los estudiantes “pensarlo con la cabeza” (como dicen los niños y niñas) intentando, así, abonar el terreno para futuras acciones. 

Por ejemplo, como se propone en “Aportes para el seguimiento del aprendizaje en situaciones de enseñanza” (2007):

• Para una fiesta se calcula 1/2 litro de bebida por persona. ¿Cuántos litros se precisan para 2, 4, 3 y 6 personas? 

• Se calcula 1/4 kg de carne por persona. Completa:

 

cantidad de personas:          1           2           4           8            6

 

carne (en kg):                       ¼        ……..     ……..    ………     ……..

 

• Para llenar un balde de 5 litros con botellas de 1 litro y ¼ , ¿cuántas botellas necesito?

• Si preciso 5 kilos de arroz y sólo hay paquetes de 3/4 kg,  ¿cuántos necesito?

• Se usó 1/4 de un paquete de 1 kg de harina, ¿cuánto queda? (pág. 50) 

 

• Incluir la estimación de una medición en el proceso de medición y la comparación y cálculo de medidas.

“Una estimación es un juicio del valor del resultado de una operación numérica o de la medida de una cantidad, en función de las circunstancias individuales del que lo emite […] Incluir la Estimación en la escuela, contribuye, además de otros fines formativos de la disciplina, a una mejora general del pensamiento, ya que potencia el empleo e invención de estrategias propias y contribuye de forma destacada al proceso general de Resolución de Problemas” (Segovia, 2000, pág. 18).

Otra acción que podemos proponer, siempre teniendo en cuenta las posibilidades del distanciamiento y el aporte del adulto, puede ser resolver problemas que impliquen estimar medidas y determinar la conveniencia de unas u otras unidades. Por ejemplo:

¿Cuánta agua entra aproximadamente en una cucharita? ¿Y en un vaso? ¿Y en un balde? ¿Y en una pileta de lona? ¿Y en una pileta olímpica? 

¿Cuánto pesará un elefante adulto? ¿Y un pajarito? ¿Cuánto queso hay que comprar para hacer un sandwich? ¿Cuántos panes entran en un kilo de pan? ¿Cuánto pesa un caramelo? ¿Y un camión? 

¿Cuál es la altura aproximada de un edificio de tres pisos? ¿Y de una jirafa? ¿Y la longitud de una cuadra? 

¿Qué unidad de medida conviene usar para medir el largo de una aguja? ¿Y para pesar la cosecha? ¿Y para medir la distancia entre dos pueblos? ¿Y para medir la altura de una persona? (M.E.C y T, 2007, pág.51)

 

• Diversificar gradualmente los significados con que se reconocen y usan las fracciones. Proponemos, además de las situaciones anteriores, algunos ejemplos de

       distintos repartos:

1.a) Se quieren repartir en partes iguales 12 turrones entre 9 amigos. ¿Cuánto turrón le corresponde a cada uno?

1.b) Para repartir 5 alfajores entre 4 amigos se proponen tres formas distintas. Decidí si algunas o todas las expresiones siguientes indican la cantidad de alfajor que recibe cada amigo. Explicá cómo lo pensaste.

 

 

 

2. A la pizzería llegan 10 amigos. Como no hay una mesa tan grande, se sientan 6 en una mesa y 4, en otra. En la mesa de 4, piden 2 pizzas grandes y en la de 6 personas, piden 3. Si en las dos mesas las pizzas se reparten de manera equitativa, ¿es cierto que las personas de la mesa de 6 comieron más que las de la mesa de 4? ¿Por qué?¿Qué pasaría si en cada mesa piden una pizza más? (M.E.N, 2012, pág.85).

 

El abordaje de los diferentes significados con que se reconocen y usan las fracciones amerita, seguramente, un tratamiento más exhaustivo en otras entregas.

 

Agradecemos la colaboración de las profesoras María Laura Imvinkelried y Beatriz Bricas.

 

Subsecretaría de Educación Primaria.

 

Referencias bibliográficas:

 

-Block Sevilla, D.; Solares, D. (2001). Las fracciones y la división en la escuela primaria: análisis didáctico de un vínculo. Educación Matemática, 13, pp.5 a 30.

-Chamorro, Ma. del C. (1995). Aproximación de la medida de magnitudes en la enseñanza primaria. Revista de Didáctica de la Matemática,pp. 31 a 53.  

-Instituto Nacional de Formación Docente. (2016). Clase 2. La enseñanza de la medida en el segundo ciclo. Buenos Aires: Ministerio de Educación y Deporte de la Nación.-Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la República Argentina. (2005). Núcleos de aprendizaje prioritarios (N.A.P). Buenos Aires, Argentina.

-Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la República Argentina. (2007). Serie Cuadernos para el aula. Matemática 3. Buenos Aires, Argentina.

-Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología. (2007). Aportes para el seguimiento del aprendizaje en procesos de enseñanza. Buenos Aires: Argentina.

-Ministerio de Educación de la Nación. (2012). Notas de la enseñanza. Operaciones con números naturales. Fracciones y números decimales. Buenos Aires: Argentina.

-Sadovsky, P. (2005). Matemática: Fracciones y Números decimales. 4° grado y 7° grado. Apuntes para la Enseñanza. Ciudad de Buenos Aires, Argentina.

http://www.sermaestro.com.ar/m4_docente.pdf

-Segovia, I. y otros. (2000). Estimación en cálculo y medida. Madrid, España: Síntesis.

-Wolman, S. (2006). Cálculo mental con números racionales: apuntes para la enseñanza. Buenos Aires, Argentina: Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. 

 

Bibliografía:

Malet, O. (2010). Los significados de las fracciones: una perspectiva fenomenológica. Revista N°21.

http://www.mendoza.edu.ar/wp-content/uploads/2017/04/MATEM%C3%81TICA-Y-CURRICULUM-Los-significados-de-las-fracciones.pdf