Módulo: Identidades, Cultura y Sociedad.

ACCIONES FORMATIVAS N° 17:

Instancias de mediación pedagógica. Matemática para sexto y séptimo grado.

¡Hola! ¡Bienvenidos a todos y todas!

Nos encontramos para dar continuidad al acompañamiento en el uso de los Cuadernos de la Serie “Seguimos Educando” del Ministerio de Educación de la Nación. En esta oportunidad, para conocer los Cuadernos 1 y 2,  para sexto y séptimo grado del área Matemática. 

Aprovechamos esta instancia de reflexión para imaginar posibles intervenciones así como pensar pensar  las acciones prioritarias que, en este año tan particular, iremos estableciendo. 

Nuevas acciones y nuevos desafìos nos esperan en esta etapa de replanteos y reconstrucciones.  

 

                                                 Subsecretaría de Educación Primaria, Nanci Noemí Alario.

 

INTRODUCCIÓN:

El Cuaderno Nº 1 para sexto y séptimo año de la Serie “Seguimos Educando” del Ministerio de Educación de la Nación nos aporta herramientas para trabajar sobre dos ejes: 

• La apropiación del sistema de numeración decimal.

• La ampliación de los significados de las operaciones del campo multiplicativo y su vinculación con el algoritmo de la división. 

En todos los casos, la propuesta es “hacer”, a partir de la elaboración de conclusiones que aparecen en los recuadros finales “Para revisar”, en un intento por anticipar posibles resultados y generalizaciones. Serán argumentaciones “de entrecasa”, en muchos casos, que deberán ser guardadas en el cuaderno para compartirse al regreso al aula.

El Cuaderno Nº 2 recupera problemas del campo multiplicativo trabajados en el Cuaderno 

N°1, que validan y dan nombre propio al concepto de proporcionalidad directa. Introduce, en su segunda parte, problemas de reparto donde el resto puede seguir siendo repartido, dando así ingreso al número racional, en su forma fraccionaria  y decimal. 

1-RECORDAMOS ALGUNOS ACUERDOS:

En el marco de esta situación especial de trabajo docente, recuperamos de la Circular N°10  la necesidad de planear y desarrollar un tramo de mayor sistematicidad en nuestro trabajo de acompañamiento de alumnos y alumnas. En la misma, se plantea que la planificación de los itinerarios formativos asuma un marco de organización gradual, progresiva, dosificando los contenidos, materiales y actividades en torno a los Núcleos Prioritarios elegidos. 

Nos referimos, entonces, a la resoluciòn Nº214/04 del Consejo Federal de Cultura y Educación que establece los aprendizajes prioritarios como base de unidad del Sistema Educativo Nacional. Destacamos la relevancia que adquieren estos núcleos de aprendizajes como “conjunto de saberes centrales, relevantes y significativos, que incorporados como objetos de enseñanza, contribuyan a desarrollar, construir y ampliar las posibilidades cognitivas, expresivas y sociales que los niños ponen en juego y recrean cotidianamente en su encuentro con la cultura, enriqueciendo de ese modo la experiencia personal y social en sentido amplio.” (Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación, 2005: 11-12).

2-COMPARTIMOS ALGUNOS SABERES:

Por un lado,  nos resulta pertinente recuperar la Teoría  de las Situaciones Didácticas de Guy Brousseau (1994) que distingue tres tipos de situaciones: las situaciones de acción, de formulación y de validación en toda situación de enseñanza y aprendizaje. Esto es, el planteo de problemas que pongan a prueba los conocimientos previos de los estudiantes para que puedan formularse algunas respuestas e intenten validarlas dando sus razones para convencer a los demás. En esta etapa de aislamiento social, sólo podemos pensar en proponer a los estudiantes situaciones de acción (problemas de todo tipo), de formulación,  y una validación, escrita coloquialmente, que pueda ser recuperada en la puesta en común con los docentes. 

Por otro lado, nos gustaría compartir algunas ideas claves para analizar la propuesta de los Cuadernos, donde se combinan adecuadamente contextos matemáticos o intramatemáticos y contextos no matemáticos, también llamados extramatemáticos, en los que se presentan los problemas propuestos. A propósito de contextos extramatemáticos, retomamos las consideraciones de Sadovsky: 

“[…] la contextualización en una situación que los alumnos pueden comprender independientemente del conocimiento del modelo matemático que puede describirla, y acerca de la cual pueden establecer algunas relaciones, contribuye a la construcción de ese modelo. […] Ciertos contextos aportan una “intuición” que ayuda a avanzar sobre algunas ideas, dejando en la sombra asuntos de los que en realidad, en algún momento, habría que ocuparse” (SADOVSKY, 2005: 101-102).

Una cuestión central es que los problemas en contexto extramatemático resulten verosímiles, es decir, problemas en los que se describa una situación real y posible, donde las preguntas tengan sentido en sí mismas. Otro aspecto fundamental es el trabajo fuera de este contexto, para dar lugar a la explicitación y justificación de lo aprendido, reconocer de qué conocimiento se trata y en qué conocimientos anteriores se apoya. En este sentido, estaremos trabajando en un contexto intramatemático. Sadovsky expresa:

 “[…] el contexto interno a la matemática muestra relaciones que lo contextualizado en lo cotidiano no puede mostrar. En otros términos, no estamos diciendo: “en este caso el contexto externo no aporta”, sino que estamos diciendo: “en este caso el contexto externo oculta aquello que queremos que sea tratado.” (SADOVSKY, 2005: 110). 

Es interesante resaltar, que al presentar problemas en ambos contextos, se amplía el campo de situaciones que los niños y niñas pueden resolver, y se posibilita el avance en la construcción del sentido de ciertos conceptos.

Dentro de los contextos extramatemáticos, resulta oportuna la inclusión del juego en las propuestas de enseñanza como herramienta útil y efectiva:

“Los juegos poseen la ventaja de interesar a los alumnos, con lo que, en el momento de jugar, se independizan relativamente de la intencionalidad del docente y pueden desarrollar la actividad, cada uno a partir de sus conocimientos. Pero la utilización del juego en el aula debe estar dirigida a su uso como herramienta didáctica: jugar no es suficiente para aprender. Justamente, la intencionalidad del docente diferencia el uso didáctico del juego, de su uso social.” (AGRASAR, CHARA y CHEMELLO, 2001: 5).

Además, como se puede observar en el Cuaderno 1, es importante incorporar actividades para después de jugar, llamadas actividades de evocación o de juego simulado. En ellas, se podrán describir y/o comparar posibles jugadas para decidir qué hacer, cómo hacer, analizar su posibilidad y determinar su validez.

Por otro lado, y tal como está sucediendo en este momento inédito, es posible asignar    tareas para la casa que posibiliten la participaciòn familiar. Esto puede generar estrategias elaboradas por otros familiares, distintas a las propuestas por los niños y niñas, y dar lugar a  juegos que tengan como eje algún contenido matemático.

Para finalizar, resulta pertinente recuperar algunas ideas sobre lo que implica cargar de sentido a la multiplicación. Según Parra y Saiz (2010), ocuparse del sentido significa, ocuparse de:

• los problemas que se resuelven con una multiplicación o que se relacionan con ella,

• las situaciones donde no puede ser usada,

• sus relaciones con otros conceptos (fracciones, proporcionalidad) y con otras operaciones (suma, división).

En este sentido, notemos que las propuestas para 6° y 7° grado trabajan con problemas del campo multiplicativo que abordan la proporcionalidad y problemas de organizaciones rectangulares y de combinatoria. Así también, incorporan ciertas variables didácticas que permiten complejizar las propuestas en relación con el trabajo en años anteriores.

3-RESOLVEMOS, CREAMOS Y PROPONEMOS:

Eje 1: La apropiación del Sistema de Numeración Decimal. 

Este eje se presenta a partir de situaciones ligadas a la composición y descomposición de números de hasta 6 cifras. Es interesante partir desde este lugar para desmitificar la idea que muchas veces circula acerca de que esta construcción se acaba al finalizar el segundo ciclo de la escuela primaria. Nuevos desafíos en relación con las características y propiedades del sistema de numeración, implicarán cada vez mayores grados de conceptualización. Ampliamos:

“Es importante destacar que la complejidad de las actividades no depende solamente de la cantidad de cifras de los números, sino del tipo de tarea que involucra su uso. En este sentido, la explicitación de conocimientos requeridos en las tareas de elaboración de formulaciones y argumentaciones implica una nueva reflexión sobre las relaciones establecidas cuando se resolvieron los problemas. […] Es esperable que, al ir resolviendo las actividades, las nociones vinculadas con las características del sistema (posición o lugar, decimal o de a 10) aparezcan en las formulaciones orales o escritas y en las argumentaciones de los chicos y chicas, y que vayan descubriendo que el lenguaje propio del área es un medio idóneo para expresar las ideas con claridad.” (Cuadernos para el aula 5, 2007: 40).

Las actividades propuestas comienzan en el contexto de un juego simulado, “embocar pelotitas en latas en una kermese”, juego conocido por los alumnos y alumnas de sexto o séptimo grado, que proponemos recrear en casa para jugar en familia, y, sobre todo, para comprender claramente los enunciados de los problemas que se proponen…

Jugar antes de contestar para:

• anotar qué número se formó al tirar las pelotitas.

• formar un número pedido embocando en donde corresponda.

• usar “todas” las pelotitas para armar un número. 

• usar “todas” las pelotitas y formar tres números diferentes, etc.

También, se aconseja volver a simular el juego cuando se dificulte responder el problema planteado.

Luego, se continúa con la descomposición polinómica presentada en un contexto intramatemático. Seguramente, cada docente sabrá cuánto sostener con sus intervenciones, este pasaje. 

Eje 2: La ampliación de los significados de las operaciones del campo multiplicativo y su vinculación con el algoritmo de la división. 

Este eje está centrado en el campo multiplicativo. Se inicia la secuencia con las estrategias puestas en juego al dividir de modo entero un número natural por 10, 100, 1000, y el análisis del resto para referirse a “cuántos cientos, dieces o miles tiene el número”. Este proceso necesita mayores explicitaciones para poder inducir una regla general, si el grupo no lo ha realizado en años anteriores, o hacer uso de más contextos extramatemáticos antes de generalizar una regla. Uno de ellos, puede ser, el cajero automático, si es usado por parte de las familias.

Una propuesta…

A veces, los cajeros entregan billetes de $100 y/o de $1000. Si quisiera sacar los $2345, que quedan en mi cuenta, ¿cuántos billetes me llevaría en cada caso de si …

a) sólo entrega billetes de 100? 

b) sólo entrega billetes de 1000? 

¿Cuánto dinero quedará en mi cuenta, en cada caso, sin poder sacar?

La secuencia continúa con situaciones de multiplicación y división en el contexto de la proporcionalidad, organizaciones rectangulares de colecciones y situaciones de combinatoria. Seguramente, los estudiantes han resuelto estos problemas a partir de procedimientos intuitivos como diagramas de árbol, dibujos, conteos, completamiento de tablas. Tal vez, los alumnos y alumnas, estarían en condiciones de una resolución unida al cálculo que transforme “las cuentas” en un problema.  

Se plantea un juego reversible permanente entre multiplicación y división que acerca al estudio de los elementos del algoritmo social o convencional de la división entera, no en tanto ejercitación de cálculos escritos, sino en el estudio de las variaciones en los cuatro elementos (dividendo, divisor, cociente y resto). Nuevamente, esto plantea un desafío importante de mediación para que se dominen las variaciones sobre estos elementos en la cuenta escrita, por el grado de abstracción que implica. 

Sugerimos releer el texto: “Aportes para el seguimiento del aprendizaje en procesos de enseñanza” para 4º, 5º y 6º año de Educación Primaria (Ministerio de Educación de la Nación, 2007).

Las secuencias desembocan en la generalización de los procedimientos. ¡Veamos que esto no es inmediato! Requerirá mediación, si no fueron acciones suficientemente internalizadas. 

Por ejemplo, en la página 8, se propone una situación de contraejemplo para la proporcionalidad directa:

“ La plantación de tilos tiene el doble de filas y el doble de árboles por fila que la plantación de pinos. ¿Será cierto que la cantidad total de árboles de la plantación de tilos es el doble que la de pinos?”

Pensemos que para poder dar respuesta a este interrogante (se recurre a un pensamiento inductivo, más que deductivo, para el que no se cuentan con las herramientas de demostración necesarias),  habrá que mediar instando a escribir varios ejemplos numéricos, dibujar las filas de árboles, duplicar las variables propuestas, y responderse en varios casos qué sucede, para luego inducir una respuesta. 

De igual forma, el cálculo mental que se pone en acto en las actividades de la página 12    del Cuaderno 2, invitan a “poner en palabras” los “trucos” que cada uno pone en juego para resolver cálculos. Descubrirlos no es tarea sencilla. Podríamos mediar mostrando más procedimientos de “otros niños” y dejar la corrección y análisis de estas actividades para el regreso al aula. Trabajar estas cuestiones en casa, puede transformarse en cálculo escrito o con calculadora, si no se comprende el concepto de “economizar” procedimientos y usar un algoritmo diferente para “resolver con la cabeza”, como dicen los niños y niñas. 

Agradecemos la colaboración de las profesoras Beatriz Bricas y María Laura Imvinkelried que hicieron posible esta publicación.

¡Nos seguimos leyendo y encontrando! 

                                       Subsecretaría de Educación Primaria 

                  

 

Referencias bibliográficas

AGRASAR, M.; CHARA, S. y CHEMELLO, G. (2001) : Juegos en Matemática EGB1. El juego como recurso para aprender,  Buenos Aires, Ministerio de Educación de la Nación Argentina.

Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología (2005): Núcleos de Aprendizaje Prioritarios. Buenos Aires, Argentina.

Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología (2007): Matemática 5. Cuadernos para el Aula. Buenos Aires, Argentina.

Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología (2007): Aportes para el seguimiento del aprendizaje en procesos de enseñanza, Buenos Aires, Argentina.

PARRA, C. y SAIZ, I. (2010): Enseñar aritmética a los más chicos,  Rosario, Homosapiens.

SADOVSKY, P. (2005): Enseñar Matemática hoy, Buenos Aires, Libros del Zorzal.

 

 

Hora de matemática 1