Acción Formativa Nº 123: “Cálculos mentales no tan mentales”

1- INTRODUCCIÓN:

Sabemos que las situaciones de aprendizaje que involucran a las fracciones ocupan un lugar preponderante en el Segundo Ciclo, por lo que resulta necesario detenernos a reflexionar sobre las propuestas didácticas que se construyen en relación a estas. 

En esta Acción Formativa, pensada para 5º grado, nos proponemos retomar el trabajo ya iniciado sobre fracciones equivalentes para continuar con el abordaje del cálculo mental involucrando números racionales expresados en forma fraccionaria.

Deseamos que la presente secuencia contribuya a enriquecer la tarea de enseñanza que con tanta dedicación y compromiso llevan a cabo las y los docentes de la Provincia de Santa Fe. 

 

Prof. Ubaldo López

Subsecretaría de Educación Primaria.

 

2- RECORDAMOS ALGUNOS ACUERDOS:

En el marco de los Núcleos de Aprendizajes Prioritarios de Segundo Ciclo (Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología, 2005, p. 22) se propone para 5º grado resolver situaciones que requieran interpretar, registrar y comparar fracciones reconociendo equivalencias entre las mismas como así también elaborar procedimientos de cálculo mental de sumas y restas, analizando su pertinencia y economía en función de los números involucrados. 

En consonancia con los NAP, el Diseño Curricular Provincial, de Educación Primaria (en elaboración) para el Segundo Ciclo, en el área de Matemática establece que para la construcción de los aprendizajes relacionados a las operaciones y estrategias de cálculo con fracciones se deben proponer situaciones de enseñanza que pongan en tensión la necesidad de: explorar registros gráficos elaborados previamente y otros recursos para resolver cálculos, poner en discusión procedimientos, establecer acuerdos y ampliar el repertorio de cálculos memorizados. Además, reconocer a la búsqueda de fracciones equivalentes con el mismo denominador como procedimiento válido para resolver adiciones y sustracciones poniendo en discusión mecanismos que permitan identificar el denominador común más conveniente.

 

3- COMPARTIMOS ALGUNOS SABERES:

En 4º grado de la Educación Primaria se inicia la construcción de nociones referidas al número racional mediante un abordaje sistemático que comienza con expresiones fraccionarias para luego dar lugar a expresiones decimales. En el Blog de Educación Primaria, disponible en el Campus Educativo de la Provincia de Santa Fe, se encuentran publicadas diferentes propuestas didácticas que dan cuenta de esto: la Acción Formativa Nº 88 que aborda el uso social de las fracciones a partir de situaciones que involucran la técnica de plegado y la Acción Formativa Nº 96 que se adentra en el establecimiento de fracciones equivalentes dando inicio a un repertorio de sumas y restas que serán el punto de partida de cálculos posteriores más complejos.

En la presente Acción Formativa, avanzaremos en la construcción de saberes en torno al cálculo mental con expresiones fraccionarias, utilizando como contexto el juego Chinchón REMIX, una adaptación del conocido “Chinchón”. El objetivo del mismo es que las chicas y los chicos no sólo realicen cálculos mentales exactos sino que también comparen diferentes expresiones fraccionarias reconociendo aquellas que son equivalentes. 

Antes de comenzar con la propuesta, consideramos necesario reflexionar en relación a algunos interrogantes: ¿por qué es tan importante el trabajo en torno al cálculo mental? ¿Qué entendemos por cálculo mental? Para resolver este tipo de cálculo, ¿se necesita la utilización de lápiz y papel? ¿Es posible abordar el cálculo mental involucrando números fraccionarios? ¿Qué nociones deben construir las chicas y los chicos para que el cálculo mental con expresiones fraccionarias sea posible? ¿Qué actividades debemos proponer para dicha construcción? ¿Cuál es el punto de partida? ¿Se podrían retomar ciertas prácticas como el registro de sumas/restas consideradas fáciles y no tan fáciles? ¿Podríamos poner en práctica lo aprendido sobre las propiedades de las operaciones con números naturales? ¿Cuánto tiempo del año escolar o ciclo hay que destinar al cálculo mental?

A continuación compartimos algunas ideas con el fin de brindar posibles respuestas a los interrogantes anteriores…    

Como ya sabemos, el abordaje en torno al cálculo mental debe plantearse desde el inicio de la escolaridad primaria, por lo que el despliegue de su trabajo no puede quedar relegado a clases aisladas o a un grado/año determinado.

Resulta fundamental profundizar sobre las nociones de cálculo mental y cálculo algorítmico. En este sentido, Parra (1994, p. 222) manifiesta que “entenderemos por cálculo mental el conjunto de procedimientos que, analizando los datos por tratar, se articulan sin recurrir a un algoritmo preestablecido, para obtener resultados exactos o aproximados”. Es decir, se trata de un tipo de cálculo que es pensado y reflexionado a partir del análisis de los números intervinientes, el repertorio de cálculos memorizados y otras herramientas que se poseen para obtener un resultado. Destacamos que este tipo de cálculo puede escribirse, no excluye el uso de lápiz y papel. Además  requiere de estrategias personales que serán producidas por cada niña o cada niño y no de aquellas impuestas por la y el docente. En cambio, el cálculo algorítmico o mecanizado es aquel donde, independientemente de los números implicados, se aplica una serie limitada de pasos ordenados para obtener un resultado exacto. Es decir, la diferencia entre ambos cálculos no radica en la utilización (o no) del registro, sino en el tipo de procedimientos empleados. Como docentes esperamos que exista un trabajo secuencial y sostenido sobre cálculos mentales y que esta tarea, en forma gradual permita avanzar hacia el cálculo algorítmico para que se puedan retroalimentar uno del otro.   

Es por esto último que consideramos importante proponer, para 5° grado, el abordaje con cálculos mentales utilizando fracciones usuales y no tan usuales.

El punto de partida de un trabajo secuenciado que involucre el cálculo mental con números racionales, seguramente, se ha iniciado en 4° grado con fracciones usuales (medios, cuartos y octavos) a partir del planteo de diversas situaciones problemáticas que priorizan el uso y la construcción de las primeras nociones de este conjunto numérico. Las chicas y los chicos a través de la resolución, discusión y reflexión de las mismas, han establecido nuevas relaciones necesarias para el abordaje del cálculo mental. Como por ejemplo, que existen fracciones que representan la misma cantidad y están escritas de distinta manera, que hay fracciones menores, mayores e iguales a 1, que algunas pueden escribirse como números mixtos y otras que son equivalentes a números enteros.

Probablemente, en más de una ocasión se han propuesto juegos como “El uno y medio”, “Carrera reglada” o “La escoba del 1”, situaciones de reparto, simulaciones de compras de una cierta cantidad de litros de agua, de una cierta cantidad de kg de yerba, café, etc., donde las chicas y los chicos mediante representaciones gráficas y numéricas de fracciones usuales fueron estableciendo algunas relaciones entre las fracciones y entre las fracciones y un entero: un entero está formado por dos medios, un medio es equivalente a dos cuartos y a cuatro octavos, a un cuarto le faltan tres cuartos para formar un entero o a tres medios le sobra un medio para ser igual a uno. 

La descomposición de números, el uso de equivalencias y la utilización de las propiedades conmutativa y asociativa, válidas en este campo numérico, les permitió a las y los estudiantes ir construyendo un repertorio de cálculos memorizados tales como:

Aprovechamos la ocasión para recordar que consideramos conveniente registrar dichos cálculos en afiches u otro material para que las chicas y los chicos puedan consultarlos cuando sea necesario y para que, a partir de ellos, puedan obtener nuevos cálculos. En relación a esto, como fue expresado en la cuarta Instancia de Formación Situada (2022): 

“El registro escrito es una herramienta fundamental ya que favorece el proceso de aprendizaje. Es dable tener presente que lo importante no está en el acto de escribir, sino en las decisiones que se toman para escribir lo que se escribe, aquello que será necesario reutilizar en otros momentos o que es importante recordar”. 

Será la o el docente quien determine, teniendo en cuenta las características de su grupo a cargo, cuándo esos registros deberán excluirse de la vista de todas y todos. 

 

4- RESOLVEMOS, CREAMOS, PROPONEMOS:

Comenzamos la propuesta con una situación lúdica, un juego denominado ¡Chinchón REMIX! que involucra un desafío para las chicas y los chicos. 

 

¡A jugar al Chinchón REMIX!

Antes de comenzar el juego será necesario preguntarles a las alumnas y los alumnos si saben jugar al Chinchón con las cartas españolas ya que es un factor que influye en la dinámica del mismo. En el caso de que algunas o algunos manifiesten que no saben jugarlo, se podrá proponer a quienes sí lo conocen que lo expliquen al resto de los estudiantes. Después, se explicitarán las variantes del mismo ya que se jugará  una versión adaptada.

• Materiales: lápiz, papel y un mazo de 40 cartas con representación numérica de fracciones y 2 comodines. (mazo de cartas disponible en: https://docs.google.com/document/d/1uESS28IcRVDEgVIRwcYq0Ioyx6trJohHUV5cam_-kZQ/edit?usp=sharing)

De las 40 cartas, 31 de ellas contienen expresiones fraccionarias menores a 1:

y 9 contienen expresiones fraccionarias mayores a 1:

• Objetivo: formar con las cartas juegos de fracciones equivalentes y/o juegos de fracciones cuya suma sea equivalente a un número entero sin recurrir al algoritmo. 

• Número de jugadores: pueden jugar dos, tres o cuatro jugadores. Tal como en el clásico  “Chinchón”  siempre se juega de manera individual.
• Desarrollo del juego: cada jugadora o jugador, arrojará un dado. Comenzará a repartir las cartas la o el participante que obtenga el mayor número. La persona que se encuentre a su derecha continuará con dicha tarea y así sucesivamente. En otra oportunidad, una vez que estén familiarizados con el juego, se podrá determinar que iniciará el juego la o el participante que haya elegido, sin mirar, el mayor número contenido en una de las cartas del mazo.

La encargada o el encargado de repartir, mezclará las cartas y entregará siete de ellas a cada participante del juego. Luego colocará las restantes en el centro de la mesa boca abajo y dejará la primera descubierta al lado del mazo.

Iniciará el juego la o el participante en turno, quien puede optar por tomar la carta que se dejó descubierta sobre la mesa o, si ésta no le conviene, la carta superior del mazo. A continuación, descartará una de sus cartas, dejándola descubierta sobre la que ya está en la misma posición, por si le interesara tomarla a la o el siguiente participante, terminando con ello su turno de juego. Lo mismo realizará, cada quien en su turno, el resto de las jugadoras y los jugadores.

Si el mazo para tomar cartas se termina, se mezclarán las cartas descubiertas y se colocarán boca abajo, creando así un nuevo mazo para  continuar el juego. 

La jugadora o el jugador que utilice el comodín deberá indicar, una vez bajado su juego,  el valor que le otorgará al mismo para ser aprobado su uso por el resto de los participantes.

Para “cortar”, las y los participantes deberán haber jugado al menos un turno. Una jugadora o un jugador podrá “cortar” si logra armar con las cartas:

• un juego formado por fracciones cuya suma sea igual a un número entero (sin utilizar la regla práctica de sumas de fracciones) y uno o dos juegos de cartas formados por fracciones equivalentes;
• un juego formado por 6 fracciones cuya suma sea igual a un número entero (sin utilizar la regla práctica); 
• un juego formado por 7 fracciones cuya suma sea igual a un número entero (sin utilizar la regla práctica). En este caso se hará Chinchón REMIX ganando el juego.

Importante: para poder “cortar”, la jugadora o el jugador, sólo se podrá quedar con una o ninguna carta fuera de los juegos.

Puntaje: una vez expuestas todas las cartas, se controlarán los juegos realizados y se sumará 1 punto por cada juego de cartas equivalentes, 2 puntos por cada juego de cartas que sumen un entero utilizando menos de 6 cartas y 10 puntos utilizando 6 cartas. La o el que haya cortado utilizando las 7 cartas y no haya realizado Chinchón Remix obtendrá 5 puntos adicionales. Ganará el juego quien haya llegado primero a los 30 puntos.

Sabemos que según el objetivo que se persiga, se podrá adaptar un material o recurso en función del contenido que se desee enseñar. Si bien se propone en el juego un determinado mazo y un número establecido de cartas para cada participante, será la o el docente quien seleccione cuántas cartas asignar y qué repertorio de fracciones utilizar de acuerdo a los saberes previos de sus estudiantes. Los mazos a utilizar podrán contener cartas con fracciones que representen:

– medios, cuartos y octavos con o sin representación gráfica.

– tercios, sextos y novenos con o sin representación gráfica.

– quintos y décimos con o sin representación gráfica.

Si se opta por mazos de cartas con solo representación numérica de fracciones se podrían, en los casos que sea necesario, acompañar con las series de fracciones que pudieran haber sido construidas previamente por las chicas y los chicos.

Es importante que los juegos realizados en cada partida se registren en dos columnas para su posterior análisis: en una de ellas se escribirán los juegos de fracciones cuyas sumas sean iguales a un número entero y en la otra, los juegos con fracciones equivalentes.

Compartimos las ideas y registros…

Una vez finalizadas las partidas se podrá reflexionar junto a las chicas y a los chicos acerca de los juegos que armaron: si armaron juegos en forma correcta o incorrecta, si usaron procedimientos simples o engorrosos, o bien, si reconocieron que existen un montón de combinaciones posibles para sumar fracciones cuyo resultado es equivalente a un número entero.

Por lo antes mencionado, será necesario pensar acerca de:  ¿qué sumas de las realizadas eran iguales a 1? ¿Cuáles a otro número entero? ¿Qué estrategias utilizaron para armar los juegos de sumas? En algún momento, ¿pensaron cuánto les faltaba para armar un juego de sumas con fracciones? ¿Por qué? ¿Qué juegos con fracciones equivalentes pudieron armar? ¿Qué tuvieron en cuenta al descartar la carta en cada mano? ¿Cómo hicieron para saber si los juegos armados individualmente en cada partida eran correctos? ¿Qué tan útil les resultó el uso del comodín? ¿En qué situaciones lo utilizaron? Si el comodín fuera utilizado para formar números enteros, ¿podrían haber elegido más de un valor para el mismo? ¿Creen que resultaría beneficioso registrar en un afiche los juegos de fracciones equivalentes? ¿Por qué? 

Algunas de estas preguntas se podrán abordar después del juego y otras se podrán plantear a partir de la resolución de situaciones problemáticas o simulaciones de partidas que inviten a profundizar un poco más.

Es posible que en las primeras jugadas las chicas y los chicos tiendan a armar juegos de sumas equivalentes a 1 y no a otro número entero utilizando fracciones con igual denominador, o bien, con fracciones usuales ya que las primeras nociones acerca de este conjunto numérico han sido a partir de las mismas. Quizás en un primer momento, no reconozcan haber armado Chinchón Remix por no unir los juegos que suman 1. También es probable que los juegos con fracciones equivalentes sean armados de a pares y con fracciones que ya saben su equivalencia de memoria y se limiten al uso de su repertorio memorizado. 

Ante la pregunta de cómo hicieron para saber si los juegos armados individualmente en cada partida eran correctos, algunas respuestas de las chicas y los chicos podrían ser: ”usamos los cálculos que ya sabemos” (refiriéndose al cálculo algorítmico de suma de fracciones), “si las fracciones tenían el mismo denominador sumábamos los numeradores y si era igual al denominador llegábamos a 1”,  “si las fracciones tenían distintos denominadores buscábamos fracciones equivalentes y luego las  sumábamos”,  “si nos tocaba una fracción  mayor que 1 calculábamos cuánto nos faltaba para llegar a 2 o a otro número entero, o bien,  la descartábamos porque era más difícil pensarlo”.

Para saber si eran equivalentes, ”lo comprobábamos con el equipo de fracciones o las representábamos gráficamente”, también “usábamos las que ya conocíamos de memoria” o “ simplificábamos y  amplificábamos las fracciones”

Por todo lo expresado anteriormente, será pertinente realizar propuestas que pongan en discusión el armado de juegos logrando que las y los estudiantes puedan combinar otras fracciones a esas sumas y a los juegos formados por fracciones equivalentes.  

 

Para el logro de avances en dichas producciones, resultará fundamental propiciar espacios en los cuales las y los estudiantes puedan presentar, explicar y validar los distintos procedimientos utilizados, dando lugar a la argumentación de lo realizado. Ejemplos de estos espacios pueden abrirse mediante situaciones como las que se brindan a continuación:

Guada cortó y dice que no le quedó ninguna carta suelta.¿Qué juegos pudo haber armado? ¿Qué puntaje habrá obtenido?

Algunos juegos posibles para armar son:

Se espera que las chicas y los chicos analicen cada una de las fracciones que contienen las cartas y traten de armar combinaciones con las mismas que sumen una cantidad equivalente a un número entero y/o representen la misma cantidad. Una vez realizada la actividad de manera individual se compartirá con el resto de la clase y se validarán las resoluciones si es que hay más de una. El objetivo de esta propuesta es invitarlas e invitarlos a pensar otras alternativas donde no sólo se involucren fracciones usuales para armar distintos juegos.

Además será interesante que las y los estudiantes reconozcan números enteros “camuflados” más allá de las que representan al número 1. Será importante que reconozcan que el número 2 es equivalente a cualquier fracción cuyo numerador sea el doble del denominador, en el caso del 3 el triple, etc.

 

Danilo dice que con las siguientes cartas formó un entero porque suma 24/24. ¿Es cierto lo que dice? ¿Cómo lo habrá pensado?

El objetivo de esta actividad es analizar uno de los posibles errores que pueden llegar a cometer las y los estudiantes: sumar los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. Además la o el docente podría utilizar la actividad anterior para poner en discusión procesos de estimación, interpelando si existen otras maneras de darse cuenta si dicho cálculo es correcto o no dando lugar al análisis de cada una de las cartas intervinientes y concluyendo que si alguna de ellas es mayor a 1 es imposible arribar a ese resultado.

 

Celeste dice que al acomodar y agrupar las cartas para armar juegos de sumas, está aplicando dos propiedades de las operaciones estudiadas anteriormente, ¿a qué propiedades hace referencia?

La intención de esta actividad es que las chicas y los chicos reconozcan que al acomodar y agrupar las cartas para armar juegos de sumas están aplicando las propiedades conmutativa y asociativa de las operaciones ya estudiadas para el  conjunto de números naturales.  Ejemplo:

Valentino tiene estas cartas:

Mira el montoncito de cartas descartadas y se da cuenta que la de arriba le sirve para armar un juego. ¿Qué carta está al descubierto? ¿Hay más de una posibilidad? Explicá cómo lo pensaste.

Ante esta propuesta es probable que las y los estudiantes afirmen que 3/6 es la carta que está sobre la mesa, otras y otros expresarán que también pueden estar todas aquellas fracciones equivalentes a 3/6 ya que apuntarán a formar 1. En este caso será necesario preguntarles si se podría formar el número 2 con esas cartas. De esta manera notarán que 3/2 , 6/4, 12/8, que también están en el mazo, les servirán para formar un número entero.

 

Octavio quiere formar con estas cartas un número entero y saca el comodín, ¿qué valor le podría dar al mismo para poder formarlo? ¿Hay más de una posibilidad? ¿Cómo te diste cuenta?

A diferencia de la propuesta anterior, el comodín habilitará que la fracción contenida en esa carta tome diferentes valores independientemente si está o no está en el mazo. Además, se podrá reflexionar que el número 1 no es el único número entero a formar. 

 

Felipe dice que sería útil registrar en un afiche todos los juegos de fracciones equivalentes para usarlos al momento de pensar sumas que representen números enteros. ¿Estás de acuerdo con lo que dice? ¿Por qué? ¿Podría darle otra utilidad?

La importancia de esta actividad radica en que las chicas  y los chicos noten que no sólo les sirve para armar juegos de fracciones equivalentes sino que también  les facilita el armado de sumas que den un número entero, y así no descartar cualquier carta. Ejemplo: si tengo la carta de  12/10, saber que ésta equivale a 6/5.

 

Algunos ejemplos de institucionalizaciones que pueden desprenderse de los análisis realizados anteriormente son:

• Hay más de una fracción que representa una misma cantidad. A todas ellas las denominamos equivalentes.
• Para saber si  las fracciones son equivalentes podemos usar el equipo de fracciones, representarlas gráficamente, amplificarlas o simplificarlas.
• Saber que una fracción es equivalente a otra nos puede servir para agilizar y hacer más simples sumas con fracciones.
• Para facilitar la suma de fracciones podemos aplicar las propiedades conmutativa y asociativa.
• Las fracciones cuyo numerador es igual al denominador o es el doble, el triple, el cuádruple, etc. del mismo son fracciones que representan números enteros.
• Para hacer cálculos se puede comparar cada fracción con un entero para saber si es mayor o menor que 1, que 2, que 3.

 

Una vez realizado el análisis de diversas situaciones e institucionalizado algunos acuerdos a través del “Chinchón REMIX” será oportuno volver a jugar. Luego, se podrán proponer algunas actividades del libro “Cuaderno de Matemática 5. Sobre Ruedas. Nueva edición”.

https://docs.google.com/document/d/1psp9XZo-mRUUUjIKeWfAudzk8oGlGmzeMnA7dWa9yZc/edit?usp=sharing 

 

5- BIBLIOGRAFÍA:

– Alessi, A., Pagani, M. (2023). Diseño Curricular (en elaboración) de Educación Primaria. Segundo Ciclo. Subsecretaría de Desarrollo Curricular y Formación Docente de la Provincia de Santa Fe.

– Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación (2005). Cuadernos para el aula: Matemática 5. Buenos Aires, Argentina. http://www.bnm.me.gov.ar/giga1/documentos/EL001100.pdf  

– Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación (2006). Núcleos de Aprendizajes Prioritarios. 2º ciclo EGB / Nivel Primario. Matemática. Buenos Aires, Argentina. http://www.bnm.me.gov.ar/giga1/documentos/EL000972.pdf 

– Nise, G. (2022). Cuaderno de Matemática 5. Sobre Ruedas. Nueva edición. Ciudad de Buenos Aires. Edelvives. Libros para Aprender. Edición Especial Ministerio de Educación de la Nación. 

– Parra, C. (1994). “El cálculo mental en la escuela primaria”, en C. Parra e I. Saiz (comps.), Didáctica de la matemática. Aportes y reflexiones. Paidós. Buenos Aires, Argentina.

 

Agradecemos a Alejandro Alessi, Mariela Pagani, Lorena Rosati y Romina Sequier que redactaron la presente Acción Formativa y forman parte del Equipo Pedagógico de la Subsecretaría de Educación Primaria. 

¡Nos seguimos encontrando en este espacio!

 

Equipo Pedagógico

Subsecretaría de Educación Primaria