Acción Formativa N° 96 «Fracciones equivalentes para cálculos equivalentes»

1- INTRODUCCIÓN:

Queremos compartir con ustedes, docentes de la provincia de Santa Fe, la siguiente propuesta vinculada a la Acción Formativa Número 88, que brinda continuidad y profundización sobre el abordaje de expresiones fraccionarias en cuarto grado.

Nuestro objetivo es acompañar la construcción de los saberes de las y los estudiantes que asisten a la escuela a lo largo y ancho de toda nuestra provincia. Por ello, invitamos a cada docente a realizar un recorrido por la presente acción para complementar sus propuestas que, mediada con intervenciones pedagógicas oportunas, posibilitará la ampliación de nuestra mirada sobre la enseñanza del objeto matemático: número racional. 

Prof. Ubaldo López

Subsecretaría de Educación Primaria

 

2- RECORDAMOS ALGUNOS ACUERDOS:

Según lo indicado en los Núcleos de Aprendizajes Prioritarios (NAP) de Segundo Ciclo, la escuela debe ofrecer situaciones de enseñanza que promuevan en las alumnas y en los alumnos el reconocimiento y utilización de fracciones de uso social habitual en situaciones problemáticas que requieran interpretar, registrar o comparar el resultado de una medición a través de distintas escrituras con fracciones. Debido a lo mencionado, el repertorio incluirá expresiones tales como:

y escrituras aditivas y multiplicativas como:

 

También se deberán ofrecer situaciones que permitan interpretar equivalencias entre expresiones fraccionarias. Además, utilizando distintos procedimientos y evaluando la razonabilidad de los resultados obtenidos, elaborar y comparar procedimientos de cálculos mentales y escritos, para sumar y/o restar fracciones. (Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología, 2004, pp. 18-19). 

Por lo antes mencionado, nos proponemos continuar el recorrido por el largo camino de las fracciones valiéndonos de la Acción Formativa Número 88 y retomando las representaciones ya realizadas mediante plegados con sus escrituras asociadas, para adentrarnos en el establecimiento de fracciones equivalentes y dar inicio a un valioso repertorio de sumas y restas que serán punto de partida de cálculos posteriores más complejos.

3- COMPARTIMOS ALGUNOS SABERES:

Para que las chicas y los chicos puedan construir nociones vinculadas a los saberes incluidos en los Núcleos de Aprendizajes Prioritarios, en la escuela tendremos la responsabilidad de proponer situaciones de enseñanza donde se pongan en juego diversos aspectos de dichos saberes, es decir: algún sentido, un procedimiento asociado, cierta propiedad…

El estudio de los números racionales escritos en forma fraccionaria, ocupa un lugar relevante en los contenidos de enseñanza para el Segundo Ciclo de nivel primario.

Como expresa Ponce (2000):

Los números racionales representan el primer conjunto numérico distinto a los naturales que las chicas y los chicos enfrentan en la escuela. El abordaje de este campo numérico implica una ruptura respecto de sus conocimientos anteriores. Por un lado, estos conocimientos les permitirán reconocer que con este nuevo objeto es posible realizar las mismas actividades que con los naturales: ordenar, operar, etc., lo que resulta indispensable para poder otorgar entidad de número. Pero, al mismo tiempo, deberán dejar de lado esos conocimientos construidos hasta el momento para poder producir uno nuevo. (p. 38) 

Ahora bien… ¿De qué manera las y los docentes contribuimos para que se produzcan los nuevos conocimientos asociados al nuevo campo numérico? Aquí está el desafío principal:  generar situaciones propicias para comenzar a descubrir el funcionamiento de los números racionales, en este caso las expresiones fraccionarias, favoreciendo construcciones reales de conocimiento al interior del nuevo campo.  

Según se expresa en Cuadernos para el Aula 4: “Muchas veces, cuando los alumnos de 4° o 5° (…) grado aprenden reglas para comparar fracciones, para simplificarlas, para pasar de una fracción a número mixto, para escribir un número mixto como fracción y también para operar con fracciones, las olvidan después de un tiempo”. Si dichas reglas son aprendidas de forma mecánica, sin una construcción que le otorgue sentido, las niñas y los niños tienden a confundirse, perdiendo la posibilidad de poner en acción esas reglas en la resolución de problemas y difícilmente se conviertan en aprendizajes favorecedores de nociones posteriores. Y aún recordándolas, cabe preguntarnos… ¿Tiene sentido para las chicas y los chicos repetir y aplicar una regla o un procedimiento sin que haya una construcción previa y genuina que sea significativa? 

Por ello, para evitar las dificultades antes mencionadas, proponemos abordar el trabajo con las fracciones priorizando la construcción de sentido y el entramado de experiencias genuinas para la apropiación de dichos aprendizajes.

Con el fin de avanzar en un tratamiento didáctico de las fracciones, deseamos compartir algunos conceptos importantes que resultan relevantes para la presente Acción Formativa.

Como se expresa en Cuadernos para el Aula 4 (p. 50): 

El sentido de la noción de número racional se va construyendo a partir de los diferentes problemas en los que se usan estos números. (…) Por ejemplo, las fracciones como partes de un todo potencian discusiones ligadas a las relaciones entre el tamaño y el número de las partes, pero no ayudan a tratar las fracciones mayores que uno, repertorio que es posible abordar mejor desde las situaciones de reparto. A su vez, el cálculo sobre el modelo parte / todo resulta sencillo entre fracciones menores que uno y generalmente se inicia la suma y la resta considerando fracciones del mismo denominador para pasar luego a las de distinto denominador, estableciendo equivalencias. Este criterio de progresión se flexibiliza cuando utilizamos contextos de medida que a la vez permiten trabajar con un repertorio más amplio. En estos contextos, el uso de equivalencias y de estrategias de cálculo mental posibilita resolver por ejemplo:

, 

Teniendo control sobre el resultado aun sin conocer el algoritmo para la suma de fracciones de distinto denominador. (Recordamos que dos o más fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad).

Si hablamos de cálculos mentales… ¿Estamos haciendo referencia a cálculos algorítmicos?  En un primer momento será importante definir ambos tipos de cálculos: mentales y algorítmicos.  El cálculo algorítmico consiste en una serie de reglas aplicables en un orden determinado, siempre del mismo modo, independientemente de los datos, que garantizan alcanzar el resultado buscado en un número finito de pasos. (…) En cambio, el cálculo mental refiere al conjunto de procedimientos que, analizando los datos por tratar, se articulan sin recurrir a un algoritmo preestablecido, para obtener resultados exactos o aproximados. La distinción entre cálculo algorítmico y cálculo mental no reside en que el primero sea escrito y el segundo no se apoye en el uso de lápiz y papel. El cálculo algorítmico utiliza siempre la misma técnica para una operación dada, cualquiera sean los números. En cambio, cuando se propone un trabajo de cálculo mental no se espera una única manera posible de proceder. (Wolman, 2006, pp. 11 y 12)

Con lo expuesto no queremos decir que ambos tipos de cálculo se oponen, sino todo lo contrario, los conocimientos construidos acerca de uno y otro tipo de cálculo harán que se alimenten recíprocamente.

4- RESOLVEMOS, CREAMOS, PROPONEMOS…

Retomando la Acción Formativa Número 88 en la cual comenzamos el abordaje de la noción de fracciones apelando a diferentes representaciones y estando una de ellas vinculada a la técnica de plegados, iniciamos un recorrido desde el lenguaje coloquial a la escritura numérica de las mismas. En esta oportunidad, pretendemos avanzar en el establecimiento de equivalencias entre expresiones fraccionarias y en la confección de un repertorio de cálculos mentales asociados a sumas y restas.

Apoyándonos en las representaciones ya trabajadas con tiritas de papel y las escrituras realizadas a cada parte de los plegados, se podrá iniciar el trabajo sobre un repertorio de sumas y restas que, en principio, incluya simultáneamente medios, cuartos y enteros. 

Para que los alumnos logren avances en sus producciones, también resultará fundamental propiciar espacios de puesta en común en los cuales las chicas y los chicos puedan presentar y explicar las distintas estrategias utilizadas, siempre dando lugar a la argumentación de lo realizado. 

Los plegados constituyen el recurso que hemos seleccionado para continuar trabajando las actividades, ya que consideramos que brinda la oportunidad de tratar diversas equivalencias entre escrituras fraccionarias, como así también la comparación, adición y sustracción de algunas fracciones.

Teniendo en cuenta los plegados ya realizados que representan los diferentes ríos:

Algunos interrogantes posibles para dar inicio a un repertorio de sumas podrían ser los siguientes:

• ¿Cómo lograrían formar el río Salado del Sur utilizando el río Tapenagá? o ¿Cuántos ríos Tapenagá se necesitan para formar un río Salado del Sur?
• ¿Cómo lograrían formar el río Salado del Sur utilizando el río Coronda? o ¿Cuántos ríos Coronda se necesitan para formar un río Salado del Sur?
• ¿De qué otra forma obtendremos el río Salado del Sur combinando los ríos Coronda y Tapenagá?

Quizás en un inicio, las chicas y los chicos expresarán de forma coloquial las respuestas: “con dos ríos Tapenagá puedo formar un río Salado del Sur” o “con cuatro ríos Coronda puedo formar un río Salado del Sur” y que “si junto dos Coronda con un Tapenagá armo un río Salado”. ¡Dichas expresiones son correctas! Ahora, generemos una nueva situación problemática, invitando a expresarlas simbólicamente.  Para ello, se podrá preguntar ¿Cómo escribirías con símbolos las respuestas anteriores?

Algunas posibilidades serán:

Para sintetizar lo realizado y ampliar el repertorio de cálculos, nuevamente invitamos a pensar que podría ser conveniente brindar espacios que permitan a las chicas y a los chicos organizar y sistematizar los diferentes cálculos, plasmándose en carteles para que, posteriormente, puedan servirles para cálculos más complejos. Además, esta construcción favorece a que cobre sentido lo que están aprendiendo.

Con el fin de complejizar la propuesta, se podrá plantear la siguiente situación: Si encontráramos un río que equivale a la mitad de la longitud del río Coronda…

• Tenemos una nueva tira de papel como las anteriores… Ahora, ¿En cuántas partes iguales deberíamos dividirla? (la tira de papel representa al río Salado del Sur).
• ¿Con cuántos pliegues se puede hacer?
• ¿Cuál es la menor cantidad de pliegues que se necesitan para hacerlo?
• ¿Qué fracción del río Salado del Sur representa una de esas partes? ¿Cómo se escribe?
• ¿Con cuántas de esas partes formo el río Tapenagá? ¿Y el río Coronda?
• ¿Cómo escribirían con símbolos y utilizando números estas últimas situaciones?

 

Ahora, al contar con , será posible establecer, por ejemplo:

Valiéndonos de estos cálculos establecidos por las chicas y los chicos, será oportuno revisar cuáles de ellos corresponden a expresiones equivalentes. Por ejemplo, de esta última se desprende que:

Es decir: Si tomo una parte de dos, es un medio; si tomo dos partes de cuatro, también es un medio; si tomo la mitad de las partes en las que está dividido el rectángulo de papel, es un medio.

¡Y por qué no dar lugar a un repertorio de restas! 

De forma similar, y utilizando las tiritas de papel plegadas, se podrán abordar diferentes  interrogantes:

• ¿De qué manera lograrían formar el río Tapenagá utilizando el río Salado del Sur?.

Al comienzo puede surgir como respuesta “Al río Salado del Sur le quito un río Tapenagá”, expresión que es correcta; pero será conveniente invitar a las chicas y a los chicos a expresar mediante escrituras simbólicas lo antes solicitado.

A modo de ejemplo, se podrá analizar:

 

 

De igual modo… 

• ¿De qué manera lograrían formar el río Coronda utilizando el río Tapenagá?. Aquí una respuesta que puede surgir es “al río Tapenagá le saco un río Coronda” la cual es correcta. Sin embargo, será conveniente que se exprese mediante escrituras simbólicas.

 

De aquí se desprende que no es necesario comenzar por calcular sumas y restas de fracciones en dos etapas: en un primer momento de igual denominador para pasar luego a sumas y restas con fracciones de distinto denominador. Proponemos un trabajo más ligado a la construcción de sentido y por el contrario, dicho criterio de secuenciación obedece a una lógica centrada en la construcción del algoritmo y resulta poco operativo. 

La discusión sobre las distintas producciones de las chicas y los chicos puede llevar a la producción de registros colectivos, a modo de afiches o notas que pueden quedar asentadas en las carpetas y que serán un portador numérico de consulta para otras situaciones.

Dejando una puerta abierta…..

Si se desea avanzar un poco más en el repertorio de cálculos y utilizando las diferentes representaciones realizadas de los ríos, se podrá proponer a las chicas y los chicos el siguiente desafío… ¿Cómo podrían resolver    considerando los ríos… ? ¿Qué significa? ¿Qué se obtiene?

La idea es que, a partir del cálculo mental y apelando a distintas estrategias puedan resolver el cálculo aún sin conocer el algoritmo asociado a la suma de fracciones. Se podrá guiar el desafío con algunas preguntas…

• ¿Con qué río/s podemos obtener la fracción ? ¿Hay una única posibilidad?

Analizar estos procedimientos, podría dar lugar a registrar cálculos como estos:

¡Ponemos en acción lo construido! 

1. Te invitamos ahora a representar tercios y sextos en nuevas tiritas de papel similares a las ya trabajadas. Explicar de qué manera podés realizar plegados para obtenerlos.
2. Observando ahora las diferentes representaciones que tenés en las tiritas (el entero, medios, tercios, cuartos, sextos y octavos), expresar mediante escrituras simbólicas:

1. ¿Con dos partes de 1/4 se arma una ficha de 1/8 o es al revés?
2. ¿Cuántas partes de 1/6 se necesitan para formar una de 1/2?
3. ¿Cuántas partes de 1/3 se necesitan para formar cuatro de 1/6 ?
4. ¿Con dos partes de 1/4 cuántos sextos se pueden armar?

 

3. Podemos continuar con los plegados y obtenemos quintos y décimos… 

5- BIBLIOGRAFÍA:

– Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación (2006). Núcleos de Aprendizajes Prioritarios. 2º ciclo EGB / Nivel Primario. Matemática. Buenos Aires, Argentina.

– Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación (2007). Cuadernos para el aula: Matemática 4 – 1a ed. Buenos Aires, Argentina.

– Ponce, H. (2000). “Enseñar y aprender Matemática”. Propuestas para el Segundo Ciclo. Ciudad Autónoma de Buenos Aires: Ediciones Novedades Educativas. 

– Wolman, S. (2006). Cálculo mental con números racionales: apuntes para la enseñanza. Primera edición. Secretaría de Educación, Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Buenos Aires, Argentina.

 

Agradecemos a Mariela Pagani, Carla Alario, Romina Sequier y Alejandro Alessi que redactaron la presente Acción Formativa y forman parte del Equipo Pedagógico de la Subsecretaría de Educación Primaria. Agradecemos la colaboración de Lorena Betta en la producción del material audiovisual.

 

¡Nos seguimos encontrando en este espacio!