Acción Formativa N° 104: Partimos y repartimos con Ranaldo.

 

1- INTRODUCCIÓN

Dando continuidad a las Acciones Formativas para 2do grado que venimos proponiendo, queremos compartir con ustedes esta propuesta sobre los primeros pasos en torno a una de las cuatro operaciones fundamentales: La división. Sabemos que la misma conlleva un trabajo minucioso que requiere ser abordado durante toda la escuela primaria. 

Esperamos que puedan poner en práctica la propuesta, enriquecerla y sistematizar la implementación de secuencias similares apoyadas en los textos del programa "Libros para aprender".

 

Prof. Ubaldo López

Subsecretaría de Educación Primaria

 

2- RECORDAMOS ALGUNOS ACUERDOS 

Como se propone en los Núcleos de Aprendizajes Prioritarios de primer ciclo (MECyT, 2004, p. 16) se deben promover desde la escuela diversos tipos de situaciones problemáticas que inviten a reconocer y utilizar la división con diversos significados. También en Matemática 2 – Serie Cuadernos para el aula- se destaca la importancia de habilitar tiempos para reconocer, en instancias individuales, pero también grupales y colectivas, qué tipos de problemas se resuelven utilizando esta operación. Propiciar la elaboración de estrategias propias para compararlas con otras, validarlas o refutarlas. Formular conjeturas, comprobarlas por medio de ejemplos o justificaciones reconociendo los nuevos conocimientos y relacionándolos con los ya sabidos.  (MECyT, 2006, p. 83)

 

3- COMPARTIMOS ALGUNOS SABERES

El tratamiento de la división desde los primeros grados, como el de cualquier otro objeto matemático, consiste en acompañar a las niñas y a los niños a transitar por procesos exploratorios donde se pongan en discusión ideas, procedimientos, donde se valoren los mismos, donde se establezcan acuerdos y se favorezca la construcción de nociones o la transformación de ciertas concepciones. 

Tengamos presente que el aprendizaje de la división no se remite sólo a un algoritmo sino a realizar verdaderos “encuentros” con este objeto matemático cuyo tratamiento debe ser abordado a lo largo de toda la escolaridad primaria.

Como venimos sosteniendo en las Acciones Formativas, en las Instancias de Formación Situada, en los encuentros presenciales en las escuelas y en los Conversatorios, partir de estos acercamientos genuinos con el objeto matemático, generando discusiones en torno a las distintas representaciones y a los análisis de diversos registros, habilitará la construcción de algoritmos intermedios favoreciendo una aproximación gradual y comprensiva hacia los convencionales sin que esto se convierta en un aprendizaje memorístico y mecánico de las operaciones. Para llegar a estos algoritmos intermedios es preciso un camino de construcción en torno a la división, sus significados y el tipo de problemas que resuelve. 

¿Desde dónde partimos? ¿Cómo comenzar el camino de construcción en torno a este objeto matemático? ¿Qué deben saber las niñas y los niños sobre la división? ¿Qué significa saber dividir? Si saben resolver una división algorítmicamente, ¿saben dividir? Por el contrario, si reconocen qué problemas resuelve, qué situaciones son de reparto y cuáles de partición, pero tienen dificultades en el algoritmo, ¿saben dividir? 

Vemos apropiado aquí, antes de continuar con la lectura, indicar que en esta Acción Formativa no desarrollaremos la implementación del algoritmo ya que, tal como se expresa en Cuadernos para el Aula 2, no es aconsejable avanzar con el mismo en 2° grado dado que aún no se ha alcanzado un repertorio de cálculos que habilite su implementación sumado a que la importancia debe estar puesta en el tipo de situaciones y las diversas formas de resolución, las discusiones, argumentaciones y espacios de construcción áulicos. (MECyT, 2006, p. 83).

Es interesante, ahora sí, que podamos pensar en los primeros interrogantes planteados. La posición que tengamos frente a ellos será de fundamental importancia en la elaboración de las propuestas áulicas que den respuesta a la construcción del objeto matemático que se tensiona. 

Un punto de inicio puede estar en esas situaciones que muchas veces surgen espontáneamente en el salón o en un recreo y que habilitan un espacio de reflexión y discusión colectiva llevadas al aula (ejemplos de esto pueden ser: compartir una merienda entre compañeros, repartir equitativamente -o no-  algún material concreto en cada lata o caja para guardarlos, o golosinas de quien cumple años, dividir en grupos o en equipos de igual cantidad de participantes, distribuir libros en una estantería…). Consideramos que los primeros encuentros con la división se hallan vinculados a la resolución de estas situaciones y de aquellas que -partiendo de un contexto convocante- planifica cada docente para continuar tensionando el objeto de conocimiento. Sin estos genuinos espacios de encuentro, las discusiones que propician y los procedimientos que habilitan, podemos enfrentarnos más adelante a ciertas dificultades a la hora de incorporar el algoritmo. 

En la determinación de aquello que consideramos que deben saber las niñas y los niños en torno a la división traemos las voces de Parra y Sáiz quienes sostienen “que aprender a dividir es reconocer cuáles son los problemas que se pueden resolver utilizando la división y cuáles no; qué relaciones se pueden establecer entre la división y las otras operaciones” (2007, p. 180). 

Para ello, proponemos presentar situaciones que inviten a pensar en la división con sus distintos significados. Como se expresa en Cuadernos para el Aula 2 (MECyT, 2006, p. 79) tendremos que tener en cuenta diversos tipos de problemas,

…los de reparto y los de partición. Estos (…) surgen de cambiar de lugar la incógnita de la multiplicación. En los problemas de reparto, se conoce la cantidad total de elementos a repartir y la de partes, pero no cuántos elementos corresponden a cada una de las partes… 

En los de partición, hacemos referencia a aquellos en los que se tiene conocimiento de la totalidad de elementos de la colección que se particionará en partes iguales y el número de elementos en cada una de las partes, lo que se desconoce es el número de partes.

Veamos algunos ejemplos:

Problemas de Reparto (equitativo y no equitativo):

 

En la fiesta de cumpleaños había una piñata. Ranaldo juntó 18 caramelos pero Pederiko no juntó ninguno. Ranaldo compartió sus caramelos con Pederiko. ¿Cómo pueden repartirlos?

 

Observemos que esta situación presenta la idea de reparto, pero este reparto no necesariamente tiene que ser equitativo. Al no estar indicado en la situación, las respuestas pueden ser variadas: 9 caramelos a cada uno, 10 para uno y 8 para otro o 15 y 3… y así con las diversas combinaciones aditivas que permiten estos números.    

Situaciones como esta podrán dar lugar a propiciar espacios donde se generen discusiones, argumentaciones, validaciones sobre la diversidad de resoluciones que admiten. A partir de ella podrá reflexionarse sobre:

• los dos tipos de reparto: el equitativo y el no equitativo;
• el análisis de enunciados, las restricciones o las transformaciones que debemos realizar en ellos para explicitar el tipo de reparto;
• la cantidad de soluciones posibles.

Para que el reparto sea equitativo hay que modificar el enunciado. Así tendríamos:

En la fiesta de cumpleaños había una piñata. Ranaldo juntó 18 caramelos pero Pederiko no juntó ninguno. Ranaldo quiere compartir sus caramelos con Pederiko para que ambos tengan lo mismo. ¿Cómo harías para saber cuánto le corresponderá a cada uno?

Aquí el problema es de reparto equitativo, se conoce la cantidad total a repartir (18 caramelos), la cantidad de partes (2 amigos) y se pide averiguar el valor de cada parte (cuántos caramelos le corresponde a cada amigo). En esta situación se conocen los datos de dos universos diferentes (caramelos y amigos).  

El dividendo y el divisor pertenecen a dos universos diferentes: Repartir.

18 (caramelos) : 2 (amigos)= 9 (caramelos)

 

Problemas de Partición:

Para la fiesta la tía de Ranaldo preparó 18 alfajores de maicena. Los quiso distribuir en platitos de 6 alfajores cada uno. ¿Cómo harías para saber cuántos platos podrá completar?

En esta situación de partición, se conoce la cantidad total de elementos (18 alfajores), el valor que le corresponde a cada parte (6 alfajores) y se pide averiguar en cuántas partes se puede dividir la colección (cuántos platos se podrán completar). Aquí los datos conocidos corresponden al mismo universo: “alfajores” mientras que el cociente 3 corresponde al universo “platos”. 

El dividendo y el divisor pertenecen al mismo universo: Partir.

18 (alfajores) : 6 (alfajores) = 3 (platos)

 

 Veamos algunas posibles representaciones de las niñas y de los niños a la hora de resolver esta situación:

                   

En estos dos registros observamos que, en el primero se muestra la resolución a través de una representación icónica de la situación:

Sabiendo que se desean colocar 6 alfajores en cada plato, se agrupan los elementos en grupos de a 6, al finalizar se contabiliza la cantidad de grupos para indicar cuántos platos se pueden completar. En la segunda representación podemos interpretar que, de manera similar a la anterior, se van realizando restas sucesivas a la totalidad de alfajores -siempre con el mismo sustraendo 6- hasta quedarse sin alfajores. Luego se contabiliza la cantidad de veces que se sustrajo 6 alfajores. Dicha cantidad indica la totalidad de platos necesarios.

Otro tipo de resoluciones: 

• Contar de 6 en 6 hasta llegar a 18 utilizando el cuadro de números, u otro recurso… 

1, 2, 3, 4, 5, 6. Un plato. 7, 8, 9, 10, 11, 12. Dos platos. 13, 14, 15, 16, 17, 18. Tres platos en total.

• Sumar reiteradas veces 6 alfajores hasta obtener 18 o la escala de 6 en 6,  6 + 6 es 12 más 6 son 18, llegué a 18 sumando 3 veces 6. Se necesitan 3 platos.
• Encontrar en diversos registros qué número multiplicado por 6 da 18.
• Resultado memorizado, saber que 18 : 6 es 3.

En instancias posteriores se podrán ofrecer situaciones donde el resto sea distinto de cero, para avanzar luego a otras con números mayores promoviendo diversas formas de resolución que se alejen de las representaciones icónicas o el uso de materiales concretos.

¿Qué sucedería si la cantidad total de alfajores hubiera sido 20? ¿Y si hubiese sido 50? ¿Qué otros procedimientos de resolución se animan a realizar? Se puede invitar también a comparar las distintas representaciones.

En el caso de problemas con resto distinto de cero una cuestión a tener en cuenta es la decisión de qué hacer con lo que sobra. Aquí es importante que como docentes planteemos situaciones que promuevan la discusión y la argumentación de las decisiones, se analice la validez de las resoluciones y respuestas posibles, se discuta sobre los enunciados y, si es apropiado, se reformulen. Así, por ejemplo, si el problema trata de agrupar 13 personas en 2 equipos de igual cantidad de participantes, ¿por qué no se podrá repartir en partes iguales? Pero si el contexto cambia y se trata de chocolates ¿qué se puede hacer con lo que sobra?

Por otro lado es importante incluir enunciados diversos que promuevan ambos sentidos de la división: reparto y partición, utilizando variados recursos, algunos de ellos áulicos: cuadro numérico, banda numérica, calendario, reloj…, otros vinculados a contextos extraescolares que pueden abordarse en el aula: folletos de ofertas del supermercado, tickets, facturas, entre otros.

Los problemas denominados de iteración son otros tipos de problemas de división que implican encontrar “cuántas veces un número está contenido en otro”.  Sus enunciados no se vinculan a repartos ni a los tipos de problemas de multiplicación que involucran una división como el de organizaciones rectangulares, ni de proporciones, “sin embargo, la herramienta óptima para resolverlos sigue siendo la división, cuestión que deberá formar parte de la enseñanza”. (Itzcovich, 2008). Como afirma Castro, estos problemas se asocian a situaciones de ‘partir’ y en grados superiores serán “fértiles para ‘investigar’ la cuenta, las relaciones entre números, otorgarle sentido al resto, organizar información y justificar decisiones” (Castro, 2009, p. 84)

Para ejemplificar este último tipo de problemas y siguiendo con el contexto que venimos ofreciendo ponemos a discusión el siguiente juego que puede ser parte de la fiesta: 

 

Juego: "¿Quién se acerca más?"

 

En el piso se ha dispuesto una tira de números sobre la que se realizarán saltos. El juego consiste en elegir un número del 2 al 5. Ese número indicará de a cuánto saltar. (Ejemplo: Si se elige el 3 se salta de tres en tres). 

Cada docente deberá elegir estratégicamente un número al que llegar cada vez, por ejemplo 37.

Gana el juego el que llega más cerca del número seleccionado sin pasarse.  

 

• Ranaldo va a dar saltos de a 4, si tiene que llegar a 37 ¿cuál es el número más cercano al que llegará sin pasarse? ¿Cuánto le faltará para llegar? 

 

• Pederiko decide dar saltos de a 3 en el mismo juego. Sin pasarse, ¿quién llegará más cerca del 37, Ranaldo o Pederiko?

 4- RESOLVEMOS, CREAMOS Y PROPONEMOS

Enlace a la secuencia en diapositivas:

 

https://docs.google.com/presentation/d/12w_Z9HfBK5_S1ueJSSty0ifmPrcCeMXn0KsE1ExDG7I/edit?usp=sharing

 

Enlace a la versión completa en PDF: 

https://drive.google.com/file/d/17129f0xQq9bLNwE5nuYDGJkzy7TzGPCv/view?usp=sharing

 

 

 

 5- BIBLIOGRAFÍA

 

• Castro, A. (2009) Multiplicación y División (77-96). En Wolman, S… [et. al.] (2009) Enseñar matemática: en la escuela primaria – Serie Respuestas. Tinta Fresca.
• González, A. (2015) De repartir y partir se trata. Homo Sapiens. 
• Itzcovich, H., Ressia de Moreno, B., Novembre, A., Becerril, M., Gvirtz, S. (2012). “La matemática escolar: Las prácticas de enseñanza en el aula”. Aique Grupo Editor.
• Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación (2004). Núcleos de Aprendizajes Prioritarios. 1º Ciclo EGB – Nivel Primario. Matemática. Argentina. 
• Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación (2006). Serie cuadernos para el aula: Matemática 2. Argentina.
• Parra, C., Sáiz, I. (2007) Enseñar aritmética a los más chicos: de la exploración al dominio.  Homo Sapiens.
• Quaranta, M., Wolman, S. (2003) Discusiones en la clase de matemática: Qué, para qué y cómo se discute, en Panizza, M. (comps.) Enseñar matemática en el Nivel Inicial y en el primer ciclo de EGB. Paidós.
• Telias, Deborah… [et. al.] (2022)- Nuevo Pasito a Paso: con ganas de aprender 2. Prácticas del Lenguaje/ Matemática. AIQUE. 

 

Agradecemos a Mariela Pagani, Romina Sequier y Alejandro Alessi que redactaron la presente Acción Formativa y forman parte del Equipo Pedagógico de la Subsecretaría de Educación Primaria. Agradecemos también la colaboración de Gustavo Chinellato en la producción del material audiovisual.

 

¡Nos seguimos encontrando en este espacio!

 

Subsecretaría de Educación Primaria.