Acción Formativa Nº 126: A más más y a menos menos… no siempre es proporcionalidad.
1- INTRODUCCIÓN:
El objetivo de la presente Acción Formativa es reflexionar sobre uno de los contenidos que atraviesa gran parte de la escolaridad primaria: la proporcionalidad. Esta propuesta está pensada para contribuir al enriquecimiento de la tarea de enseñanza de la proporcionalidad directa para 5to grado.
Esperamos que la siguiente secuencia propicie el acercamiento de las chicas y los chicos hacia este objeto matemático y ofrezca una nueva oportunidad para pensar juntas y juntos.
Prof. Ubaldo López
Subsecretaría de Educación Primaria.
2- RECORDAMOS ALGUNOS ACUERDOS:
En correspondencia con los Núcleos de Aprendizajes Prioritarios de Segundo Ciclo (Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología, 2005, p. 21), la versión preliminar del Diseño Curricular Provincial del área Matemática establece que, para la construcción de los aprendizajes relacionados con problemas de proporcionalidad directa, se deben proponer situaciones de enseñanza que pongan en tensión la necesidad de:
– Elaborar, compartir y evaluar procedimientos para resolver situaciones problemáticas en las que dos variables se relacionan en forma directamente proporcional, basados en diferentes registros: coloquial, aritmético, tabular y gráfico. Entre dichos procedimientos se distinguen:
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* el uso del valor unitario correspondiente a una de las variables para el cálculo de otros valores; * la elaboración de tablas para organizar, visualizar, analizar datos y avanzar en el establecimiento de relaciones entre ellos (al doble, al triple, a la mitad, a la tercera parte… de los valores de una de las variables le corresponde el doble, el triple, la mitad, la tercera parte… de los valores correspondientes de la otra variable; a la suma o diferencia de dos valores de una de las variables le corresponde la suma o diferencia de los valores correspondientes de la otra variable); * la identificación de la constante mediante el cociente entre valores correspondientes, su análisis y su interpretación en relación con el valor unitario. |
– Diferenciar situaciones en las que dos variables se relacionan en forma directamente proporcional de aquellas que, aún al presentar un comportamiento similar, no lo son.
3- COMPARTIMOS ALGUNOS SABERES:
Como ya sabemos, la proporcionalidad, en especial la directa, se encuentra vinculada a numerosas situaciones problemáticas ligadas a nuestro entorno. Se trata de uno de los objetos matemáticos que la sociedad utiliza casi de forma intuitiva al realizar las compras o establecer una medición, al interpretar escalas en un mapa, al calcular porcentajes, etc. Si bien su estudio sistemático comienza en el Segundo Ciclo, desde los primeros grados las niñas y los niños ya resuelven problemas pertenecientes al campo multiplicativo que involucran relaciones de proporcionalidad.
Por lo antes mencionado, la construcción de nociones de proporcionalidad atraviesa la escolaridad primaria desde que se tienen los primeros contactos con la multiplicación. Como docentes de 5to grado sabemos que nuestra tarea será dar continuidad a un trabajo secuenciado ya iniciado en 4to grado. Para ello, será imprescindible brindar situaciones problemáticas que tensionen los saberes a construir para que nuestras y nuestros estudiantes las enfrenten (de forma individual y/o grupal), siendo ellas y ellos quienes, a partir de sus conocimientos, planteen preguntas y empleen diferentes estrategias de resolución. También será necesario generar condiciones para la construcción del nuevo saber acompañando momentos para compartir lo realizado, donde cada estudiante pueda argumentar su manera de resolver, se analicen los errores y aciertos para arribar a ciertos acuerdos que luego serán institucionalizados.
Antes de comenzar a planificar el trabajo en torno a este objeto de estudio, consideramos necesario recordar algunas cuestiones: ¿A qué nos referimos cuando hablamos de proporcionalidad directa? ¿Y de variables? ¿Cuándo dos cantidades se relacionan de forma directamente proporcional? ¿A qué denominamos constante de proporcionalidad? ¿Qué datos nos aporta la constante de proporcionalidad?
En relación con lo expresado, ¿qué se debe poner en tensión sobre proporcionalidad directa en 5to grado? ¿Qué contextos podemos seleccionar para su abordaje? ¿Qué tipos de problemas son posibles plantear? ¿Qué tipos de representaciones podrán surgir?
A continuación, compartiremos ideas para reflexionar sobre algunos de los interrogantes anteriores…
Posiblemente, en 4to grado las chicas y los chicos ya han resuelto diversas situaciones problemáticas en las que se brindaban como dato el valor unitario de una de las variables o se indicaban los valores de una de ellas manteniendo cierta relación (por ejemplo: 2, 4, 6, 8), lo que facilitaba su resolución. Es probable que hayan arribado a algunas de las relaciones entre dos variables o magnitudes que se vinculan en forma directamente proporcional: "si el valor de una de las variables se multiplica o divide por un número, lo mismo ocurre con el valor correspondiente de la otra variable" y “a la suma de dos cantidades de una variable le corresponde la suma de las cantidades correspondientes de la otra”.
Respecto a los tipos de problemas que se han de poner en tensión para 5to grado, habrá que avanzar en el análisis de los datos de distintas situaciones para determinar si se refieren a relaciones de proporcionalidad directa o no. En los casos que sí lo sean, será importante analizar aquellos donde resulte necesario el valor unitario (constante de proporcionalidad directa) y este no se brinde, es decir, pensar cómo se puede resolver un problema de este tipo si se desconoce el valor unitario y los valores de una de las variables no presentan una regularidad fácilmente identificable (por ejemplo 2, 3, 7, 13).
También será oportuno ampliar una de las relaciones ya estudiadas: “a la suma de dos cantidades de una variable, le corresponde la suma de las cantidades correspondientes de la otra”. Es decir, realizar la deducción de que ocurre lo mismo para la diferencia: “a la diferencia de dos cantidades de una variable, le corresponde la diferencia de las cantidades correspondientes de la otra”.
Cabe recordar que si bien se podrá trabajar en una primera instancia con números naturales, resultará interesante proponer situaciones que involucren las relaciones antes mencionadas en el campo de los racionales.
Como ya sabemos, para el abordaje de nociones matemáticas significativas es importante considerar diferentes contextos que inviten a matematizar. Si bien podrán pertenecer al mundo de la matemática o no, es valioso recuperar en la escuela aquellos contextos habituales de cada comunidad y crear propuestas vinculadas con los conocimientos a aprender. Al respecto, Cuadernos para el aula 5 expresa que:
En relación con las representaciones, es fundamental que se puedan establecer tiempos para que las y los estudiantes compartan en forma coloquial tanto las variables involucradas, los valores de las mismas y las relaciones encontradas, que lo expresen con dibujos y puedan avanzar hacia algunas organizaciones numéricas. Estas podrán ir gradualmente acercándose a organizaciones tabulares, para visibilizar las relaciones mencionadas. De esta manera, las tablas de proporcionalidad serán el resultado de una construcción y no el punto del cual se parte, como en muchas ocasiones ocurre.
Como se establece en Cuadernos para el Aula 5 (2007, p. 72), “se pueden incorporar nuevas representaciones de las relaciones de proporcionalidad a las ya conocidas de enunciado textual y de tabla” y, para esto, plantear una nueva problemática que consideramos sumamente pertinente: ¿Cómo podemos representar gráficamente los datos que figuran en la tabla? De esta manera, se habilitarán valiosos momentos de discusión para favorecer el avance gradual a ciertas representaciones gráficas. Es importante no desconocer que estamos preparando el camino para que, en 6to o 7mo grado, se promuevan experiencias para vivenciar un proceso sistemático que permita que cada estudiante construya nociones sobre “la recta en el plano”, desde el análisis de puntos que pueden representarse en el sistema de coordenadas cartesianas, la apreciación de que los mismos se encuentran alineados y, en consecuencia, están incluidos en una recta, hasta la interpelación sobre la existencia de infinitos valores posibles.
Finalmente queremos mencionar que en esta acción será indispensable que el abordaje de la proporcionalidad directa se oriente a reflexionar sobre los distintos tipos de problemas que resuelve, sus características y relaciones, las representaciones, los límites que presenta, entre otras. Es por ello que proponemos que la enseñanza y uso de la técnica conocida como “regla de tres simple directa” sea el punto de llegada y no el de partida.
4- RESOLVEMOS, CREAMOS, PROPONEMOS:
Todos los 16 de octubre se celebra el “Día Mundial de la Alimentación”. Esta fecha es una oportunidad para promover desde el aula la elección de alimentos y hábitos saludables.
Proponemos comenzar la presente Acción Formativa con la organización de una “Feria de licuados” con frutas de estación. Será una buena ocasión para poner en diálogo con otros espacios curriculares cuestiones referidas a: ¿Cuáles son las frutas más sabrosas y nutritivas que podemos consumir de acuerdo a su estacionalidad? ¿De qué región de nuestro país provienen? ¿Qué beneficios ofrece el consumo de cada fruta? ¿Existen inconvenientes con el consumo de frutas? ¿Cuáles? ¿Qué cuidados deberíamos tener?
Compartimos los siguientes sitios para profundizar sobre las preguntas anteriores:
–https://www.argentina.gob.ar/produccion/cuatroestaciones/lugar-de-origen/patagonia
–https://chamb.cancilleria.gob.ar/es/el-mundo-del-producto-frutas
Para la organización de la jornada de licuados, se podrá proveer de diferentes ingredientes/elementos necesarios para elaborarlos: agua, frutas, azúcar, hielo, licuadoras, vasos, cucharas, jarras, etc.
La o el docente invitará a cada estudiante a compartir una receta de un licuado con sus compañeras y compañeros registrando tanto los pasos como los ingredientes necesarios para prepararlo. Algunas posibles recetas que podrán surgir son:
“Para hacer un vaso de licuado coloco en la licuadora una naranja y media sin cáscara, agrego medio vaso de agua y dos cucharaditas de azúcar”.
“Yo quiero compartir la receta de un licuado que preparamos en mi casa. Para hacer 2 vasos de licuado de multifrutas, mi mamá utiliza 1 pera y 2 naranjas peladas, 4 frutillas y 300 ml de agua. No le agrega azúcar porque dice que no hace falta”.
“Para hacer 2 vasos de licuado de manzana pongo en la licuadora: 4 manzanas rojas pequeñas sin cáscara, 400 ml de agua, el jugo de medio limón y 2 cucharaditas de azúcar”.
Luego de compartir distintas recetas, se podrán seleccionar algunas para abordar dos cuestiones: por un lado, el análisis de las relaciones que se pueden establecer entre cantidades (vasos e ingredientes) y, por el otro, la comparación de distintas estrategias para calcular los valores que se corresponden proporcionalmente evaluando la pertinencia de las mismas.
A diferencia de los problemas que pudieran haberse tensionado en 4to grado para el tratamiento de proporcionalidad directa, se incorporarán los números racionales en sus expresiones decimales o fraccionarias, dependiendo la situación a resolver.
Problematizamos:
¡Gran venta de licuados!
En el recreo, los alumnos de 5to grado ofrecerán licuados naturales. Para calcular rápidamente los ingredientes de distinta cantidad de vasos de determinado licuado, decidieron tener todo anotado para ahorrar tiempo y no tener que hacer las cuentas cada vez que los solicitan. ¿Cómo podrían averiguar la cantidad de ingredientes necesarios para obtener 5, 10, 20 y 30 vasos de cada receta? ¿De qué manera se podría organizar la información para que resulte más práctico su cálculo?
Con relación al primer interrogante, se espera que las chicas y los chicos pongan en juego las nociones construidas sobre proporcionalidad en 4to grado, o bien que resuelvan intuitivamente los cálculos.
Respecto al segundo interrogante, es probable que las y los estudiantes que hayan abordado este tipo de problema en años anteriores, organicen la información en una tabla. De lo contrario, la o el docente podrá proponer la confección grupal de la misma a partir de los cálculos realizados y compartidos.
Supongamos que se decidiera considerar una receta que contenga la información de los ingredientes para la preparación de un vaso de licuado de naranja. Es probable que las chicas y los chicos multipliquen el valor unidad por 5, 10, 20 y 30 para obtener las cantidades necesarias en cada caso respectivamente o recurran a la realización de sumas de cantidades para obtener otras. Una posible organización de los datos podría ser la siguiente:
En cambio, si se optara por una receta para más de un vaso de licuado, por ejemplo la de manzana, en un primer momento podrán calcular la cantidad de ingredientes necesarios para preparar un vaso, aunque no sea necesario, y luego multiplicar esas cantidades por 5, 10, 20 y 30.
Así mismo podrán calcular los valores para 10 vasos multiplicando los valores de 2 por 5. Luego conociendo los de 10 dividiéndolos por 2 para obtener los de 5, multiplicándolos por 2 para obtener los de 20 y por 3 para obtener los de 30. Estos últimos podrían, también, obtenerse mediante la suma de los valores correspondientes a 10 y a 20.
Será importante valorar los procedimientos que proponen las y los estudiantes y, por sobre todo, compararlos y establecer discusiones que permitan avanzar en el establecimiento de acuerdos. De no ponerse en juego ciertas relaciones, éstas podrán ser presentadas por la o el docente a partir de consignas de análisis, tales como:
Observá la tabla y respondé:
a) ¿Cómo calcularías la cantidad de ingredientes para 5 o 20 vasos utilizando los valores de las cantidades necesarias para 10?
b) Martina dice que si se suman las cantidades correspondientes de cada ingrediente para hacer 20 vasos de licuado de manzana con los ingredientes para hacer 10, obtiene los necesarios para hacer 30 vasos. ¿Es cierto lo que dice? ¿Por qué? ¿Podría averiguar la cantidad total de cada ingrediente para 10 vasos si conoce los necesarios para 30 y 20? ¿Cómo lo haría sin emplear la división?
c) A veces las recetas no cuentan con la información de los ingredientes para un vaso y Pedro dice que sí o sí es indispensable conocer ese dato, ¿qué le dirías a Pedro?
A partir de las situaciones planteadas y luego de una puesta en común donde se compartirán y analizarán las distintas estrategias y procedimientos empleados, se espera que las chicas y los chicos puedan establecer acuerdos, tales como: “al doble le corresponde el doble, al triple el triple, a la mitad la mitad y así sucesivamente”, “si sumás o restás dos cantidades podés obtener otra para completar la tabla”, “a veces es necesario saber cuánto le corresponde a uno para averiguar otro”.
Considerando dichos acuerdos, que deberán ser valorados por cada docente, se dará lugar a la institucionalización. Precisamente es en este momento donde se deben expresar con el vocabulario más específico posible.
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Dos cantidades se relacionan de forma directamente proporcional si: – Al doble, triple, cuádruple, mitad, tercio, cuarto, etc. de una de ellas, le corresponde el doble, triple, cuádruple, mitad, tercio, cuarto, etc. de la otra. – A la suma (diferencia) de las cantidades de una variable, le corresponde la suma (diferencia) de los valores correspondientes de la otra. – El valor correspondiente a uno se denomina constante de proporcionalidad. Este valor se obtiene de dividir el valor de una de las variables por el correspondiente de la otra. |
Será necesario también plantear situaciones donde se analicen las características que determinan si dos cantidades están relacionadas de forma directamente proporcional o no. Por ejemplo:
Problematizamos:
a) Para servir los licuados se encargarán vasos plásticos reutilizables. Los mismos se venden en packs de 10, 20 y 30 unidades. Teniendo en cuenta los valores de la siguiente tabla, ¿es posible calcular cuánto costará el pack de 30 vasos? ¿Por qué?
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Pack de vasos |
10 |
20 |
30 |
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Precio ($) |
1.290 |
2.500 |
La resolución de esta situación problemática pondrá en discusión la idea de que no siempre es posible completar una tabla utilizando algunas de las estrategias antes mencionadas ya que no se trataría de una relación de proporcionalidad directa. Es importante que pueda propiciarse un momento de reflexión a partir de los siguientes interrogantes:
– ¿Por qué podemos afirmar que estas dos variables no se relacionan en forma directamente proporcional?
– Si alguien dijera que se relacionan en forma directamente proporcional porque ambas cantidades aumentan, ¿cómo podríamos explicarle para que pueda darse cuenta que no es así?
Para continuar analizando casos se podrían proponer otras situaciones. Ejemplo:
b) Las chicas y los chicos de 5to venderán el vaso de licuado a $450. Si quisieran promocionar la compra de un combo de 2 licuados. ¿Qué precio le sugerirías para que realmente sea una oferta? ¿Cómo lo pensaste?
En este caso las chicas y los chicos podrían hacer uso de la multiplicación para averiguar cuánto costarían 2 licuados y luego elegirían un precio menor, otras y otros podrían elegir un precio al azar, etc.
La o el docente también podrá solicitar a las y los estudiantes proponer otras situaciones donde no exista proporcionalidad y las compartan con el resto de la clase.
Institucionalizamos:
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Para que dos variables se relacionen en forma directamente proporcional no alcanza con que las dos aumenten o las dos disminuyan, tienen que hacerlo de la misma manera (cuando una aumenta el doble o el triple, la otra también, etc.) |
MOMENTO PARA PONER EN ACCIÓN LO APRENDIDO
Les proponemos realizar algunas de las actividades seleccionadas del libro Carpeta de Matemática de 5to grado, “Programa Libros para Aprender”, para afianzar y repasar los conocimientos construidos en la presente Acción Formativa sobre proporcionalidad directa, disponibles en: https://docs.google.com/document/d/16Fnc2Wa2ypGxIKTYkebbM_Uqp1eo0xea1QwBzzLXzdo/edit
5- BIBLIOGRAFÍA:
– Alessi, A., Pagani, M. (2023). Diseño Curricular Preliminar de Educación Primaria. Segundo Ciclo. Subsecretaría de Desarrollo Curricular y Formación Docente de la Provincia de Santa Fe.
– Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación (2007). Cuadernos para el aula: Matemática 5. Buenos Aires, Argentina. http://www.bnm.me.gov.ar/giga1/documentos/EL001100.pdf
– Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación (2005). Núcleos de Aprendizajes Prioritarios. 2º ciclo EGB / Nivel Primario. Matemática. Buenos Aires, Argentina. http://www.bnm.me.gov.ar/giga1/documentos/EL000972.pdf
– Nise, G. (2022). Cuaderno de Matemática 5. Sobre Ruedas. Nueva edición. Ciudad de Buenos Aires. Edelvives. Libros para Aprender. Edición Especial Ministerio de Educación de la Nación.
Agradecemos a Alejandro Alessi, Mariela Pagani, Lorena Rosati y Romina Sequier que redactaron la presente Acción Formativa y forman parte del Equipo Pedagógico de la Subsecretaría de Educación Primaria.
¡Nos seguimos encontrando en este espacio!
Equipo Pedagógico
Subsecretaría de Educación Primaria
| Autor/es: | ACERBI, INES CARMEN |
