Acción Formativa N° 110: “Ángulos en todas partes”

1- INTRODUCCIÓN:

¡Es momento de encontrarse una vez más! 

Como ya sabemos, el abordaje de problemas geométricos atraviesa toda la escolaridad primaria. Es por ello que, en esta oportunidad, les compartimos una Acción Formativa vinculada al Eje Geometría y Medida, cuyos destinatarios son las chicas y los chicos de 4to grado.

En la misma, ampliamos la propuesta del Alfasueños Cuaderno Guía Serie 3 correspondiente a dicho grado, donde se propone la construcción de nuevos conocimientos geométricos: los ángulos, la amplitud angular y su medición a partir de unidades no convencionales.

Deseamos que una vez más, la presente Acción Formativa contribuya a enriquecer la tarea de enseñanza a lo largo y ancho de la Provincia de Santa Fe.

Prof. Ubaldo López

Subsecretaría de Educación Primaria.

 

2- RECORDAMOS ALGUNOS ACUERDOS:

Los Núcleos de Aprendizajes Prioritarios (NAP) para el Segundo Ciclo del Nivel Primario (MECyT, 2004, pág. 20) establecen que la escuela debe ofrecer situaciones de enseñanza que impliquen comparar y medir ángulos con diferentes recursos, utilizando el ángulo recto como unidad y fracciones de esa unidad.

Además, resultará importante que, como se establece en Cuadernos para el Aula 4 (MECyT, 2007, pág. 121) se propongan situaciones de enseñanza que permitan “estimar, medir efectivamente, eligiendo el instrumento y registrar cantidades, utilizando una unidad adecuada en función de la situación”. Para el registro de la medición será valioso incluir partes de la unidad expresadas con fracciones de la misma y favorecer la interrelación entre los distintos ejes “Geometría y Medida” y “Número y Operaciones”, ya que al medir, las chicas y los chicos necesitarán interpretar, registrar y/o comparar el resultado de una medición a través de distintas escrituras con fracciones. (MCyT, 2004, pág. 18)

 

3- COMPARTIMOS ALGUNOS SABERES:

Resolver problemas y reflexionar sobre ellos permite a las chicas y a los chicos construir el sentido de un conocimiento matemático. Por este motivo, es importante realizar una buena selección de problemas y pensar en los espacios que se otorguen para el tratamiento de los mismos. 

En Cuadernos para el aula 4 se plantean una serie de interrogantes al respecto (MECyT, 2004, pág.17): “¿qué problemas presentamos?, ¿cómo conviene seleccionar el repertorio de actividades para un determinado contenido y un grupo particular de alumnos?” Se vuelve imprescindible responder estas preguntas para favorecer en las chicas y en los chicos la construcción de cada objeto matemático que se tensione en los diferentes encuentros. 

Antes de definir problema geométrico, será pertinente saber a qué nos referimos cuando hablamos de conocimientos geométricos. En principio, podemos manifestar que están vinculados a las formas geométricas, a sus propiedades, relaciones, etc. Por otra parte, es dable mencionar que pertenecen al espacio conceptualizado, ya que ninguna forma del espacio real constituye una figura geométrica. Es por ello que, al estudiarlas, lo hacemos a través de representaciones idealizadas de las mismas.

Entonces, ¿qué es un problema geométrico? Un problema geométrico es una situación a resolver cuya resolución se basa en las propiedades de las formas que se ponen en juego. En palabras de Altman, Comparatore y Kurzrok (2009):

“Un problema geométrico es aquel en el cual se ponen en juego las propiedades de los objetos geométricos en su resolución, pone en interacción al alumno con objetos que ya no pertenecen al espacio físico sino a un espacio conceptualizado representado por las figuras dibujos. Estos dibujos no cumplen, en la resolución del problema, la función de permitir llegar a la respuesta por simple constatación sensorial. La decisión autónoma de los alumnos acerca de la verdad o falsedad de sus respuestas se apoya en las propiedades de las figuras y los cuerpos. Sus argumentaciones producen nuevos conocimientos sobre estos objetos geométricos”. (pág. 4)

Como mencionamos al inicio, el objeto geométrico que abordaremos en la presente Acción Formativa es “Ángulo”. Pero, ¿qué es un ángulo? Si recorremos varios textos escolares la definición varía. Algunas de ellas pueden ser:

– “Se llama ángulo a la medida de la abertura entre dos líneas (lados) que tienen un punto en común (vértice)”.  (Quaranta, 2022, pág. 75)

– “Se llama ángulo a la inclinación de un lado respecto a otro”. (Carrasco, 2022, pág. 115)

– “Se llama ángulo a la inclinación (o abertura) entre dos líneas rectas que comparten un punto. El ángulo también puede pensarse como la rotación (o el giro) de una línea recta apoyada en un punto que queda fijo”. (Escobar y otros, 2016 , pág. 92)

 

Varios interrogantes para pensar…

– ¿Será necesario que las chicas y los chicos construyan una definición de ángulo?

En relación a esta pregunta consideramos que lo verdaderamente valioso es que las y los estudiantes construyan nociones en relación al objeto de estudio, en este caso: el ángulo. La idea es que las chicas y los chicos expliquen qué entienden por ángulo y vayan registrando esas ideas para luego ir ampliándolas. A partir del trabajo que se realice en clase y de los acuerdos arribados, podrán acercarse progresivamente a una definición más acabada. En este sentido, en Alfasueños Cuaderno Guía Serie 3 correspondiente a 4º grado (pág. 27) , se hace referencia a que “un ángulo queda determinado por dos líneas que tienen el mismo origen. Esas líneas se llaman lados y el origen es un punto denominado vértice”. 

– ¿En qué se diferencian dos ángulos? 

Aquí es imprescindible que las chicas y los chicos discutan e identifiquen en primer lugar qué es lo que determinará si dos o más ángulos serán iguales o distintos. Luego de un tiempo destinado al debate e intercambios de opiniones al respecto, se deberá arribar a la idea de que aquello que permite comparar ángulos es la medida de la región comprendida entre los lados. Posteriormente, será la docente o el docente quien le deberá atribuir nombre a la medida de dicha región, definiéndola  como amplitud angular.

En relación a lo antes mencionado, será importante que las chicas y los chicos puedan establecer acuerdos respecto a, ¿cómo llamarían a dos o más ángulos que tienen la misma amplitud? 

Luego de la valoración de los términos expresados y de la discusión sobre los mismos, será nuevamente la o el docente quien deba explicitar que, en geometría, si dos o más ángulos tienen la misma amplitud se dice que son CONGRUENTES.

– ¿Cómo podemos comparar las amplitudes de dos ángulos?  

En algunos casos, para determinar si dos o más ángulos son congruentes será suficiente realizar una comparación directa de sus amplitudes, en base a la percepción visual o bien por superposición de los ángulos a cotejar. En otras, será necesario realizar una comparación indirecta, a causa de la lejanía de los ángulos a medir o por la existencia de una diferencia imperceptible a la vista que implicaría utilizar algún instrumento de medición.

Frente a esto último, algunos instrumentos para iniciarse en la medición o estimación de amplitudes de ángulos pueden ser la escuadra, el círculo o partes de un círculo (medio, cuarto y octavo), entre otros.

Es importante saber que medir es un acto complejo que responde a la necesidad de cuantificar ciertos atributos de los objetos y de las formas. Sin embargo, previo al mismo, siempre es recomendable proponer un procedimiento muy valioso vinculado con problemas de medida: la estimación. Como se establece en Cuadernos para el Aula 4 :

“Las situaciones de estimación, muchas veces, permiten resolver un problema de medida cuando solo involucra comparaciones cualitativas o cuando no se requiere de demasiada precisión. En muchas oportunidades, no se necesita conocer de manera precisa la medida de un objeto, basta con dar encuadres (está entre tanto y tanto) o aproximaciones (alrededor de). Pero esta tarea requiere, para su desarrollo, prácticas de estimación en las que el error cometido vaya disminuyendo a la vez que se conforma un repertorio de distintos referentes”. (MECyT, 2004, pág. 155)

 

– ¿Cómo se clasifican los ángulos según su amplitud?

La  clasificación según su amplitud es:

AGUDO: ángulo cuya amplitud es mayor a 0° y menor a 90°. (o menor a un recto)

RECTO: ángulo cuya amplitud es de 90°.

OBTUSO: ángulo cuya amplitud es mayor que 90° y menor que 180°.  (o mayor a un recto y menor a dos rectos)

LLANO: ángulo cuya amplitud es de 180°. (igual a dos rectos)

También podrían clasificarse en cóncavos y convexos pero no será abordado en el presente trabajo.

4- RESOLVEMOS, CREAMOS, PROPONEMOS:

Retomamos la propuesta pensada para abordar ángulos que podrán encontrarla en Alfasueños Cuaderno Guía Serie 3 de 4º grado (pp. 26 – 29). Disponible en: https://campuseducativo.santafe.edu.ar/cuadernos-educacion-primaria/ 

 

Con el fin de ampliar dicha propuesta y profundizar el punto 6 de la página 28,  proponemos las siguientes situaciones:

SITUACIÓN 1: Las chicas y los chicos de 4to grado estuvieron observando distintos objetos con el catalejo. Estas son las representaciones de algunos ángulos de inclinación que se generaron.

La maestra de 4to les propuso que, observando sus representaciones, determinen cuáles de ellos son congruentes. Leé lo que dicen Marcos y Lila:

Lila sostiene que los ángulos D y B son congruentes mientras que Marcos le responde que no pueden serlo porque el ángulo B tiene los lados más largos que el D. ¿Quién tiene razón? ¿Cómo te diste cuenta? ¿Qué le dirías a Lila y a Marcos acerca de lo que dijeron? 

Es posible que algunas chicas y algunos chicos interpreten que el ángulo es mayor cuando las representaciones de sus lados son más largas. En caso de ser así, podría proponerse para su verificación el uso del instrumento de medición realizado mediante plegados y volver sobre lo trabajado en la actividad 6 de la página 28.

También podría ser pertinente proponer que realicen un dibujo mostrando cómo una chica o un chico está observando con su catalejo un nido con la inclinación brindada por ejemplo, por los ángulos B y D. De esta manera, podrán visualizar que dicha inclinación es la misma en ambos casos y que las representaciones sólo muestran una parte del ángulo. Esquematizando: 

 

SITUACIÓN 2: Si tuvieras que observar un nido que se encuentra por encima de tu cabeza:

a) ¿Cuál de estas tres representaciones creés que es la más adecuada? ¿Por qué?

b) Una vez elegida la representación y valiéndote de tu medidor de ángulos,  indicá su medida.

La intención de esta situación es que las chicas y los chicos seleccionen la representación del ángulo equivalente a 1/4 de círculo ya que las líneas que determinan los lados deberán estar una en posición horizontal y otra vertical.

 

SITUACIÓN 3: Sin usar el catalejo, ¿será posible representar ángulos que sean mayores que 1/4 de círculo?. En caso afirmativo dibujá uno en tu carpeta, caso contrario explica por qué no es posible.

En esta situación esperamos que los alumnos puedan representar ángulos mayores a 1/4 de círculo, no trabajados anteriormente en la propuesta.

 

SITUACIÓN 4: A prueba con todo lo trabajado hasta el momento y un poco más, te proponemos:

Teniendo en cuenta las siguientes representaciones de ángulos:

a) De los representados anteriormente, ¿qué ángulos son congruentes? Contá cómo te diste cuenta. 

b) Si tuvieras que agrupar por semejanzas y separar por diferencias, ¿qué tendrías en cuenta para hacerlo?

c) Conversen sobre los agrupamientos y los criterios utilizados.

 

En relación a la consigna A, esperamos que se indique, por ejemplo que:

– Los ángulos E, I, J son congruentes.

– Los ángulos B, D, H son congruentes.

– Los ángulos F, L, M son congruentes.

– Los ángulos A, C, G, K, N no tienen ningún ángulo congruente a ellos.

Respecto a la consigna B, las y los estudiantes podrán utilizar diversos criterios. Recomendamos intervenir valorando e interpelando cada uno de ellos, con el fin de orientar hacia la comparación de los ángulos considerando uno de referencia. Si fuera necesario, podría agregarse la siguiente situación:

Matías los agrupó teniendo como referencia el cuarto de círculo de su instrumento de medición, ¿cómo habrá quedado la agrupación que hizo Matías?, ¿qué criterio creés que utilizó?

La intención de esta propuesta es iniciarlos en la clasificación de los ángulos según su amplitud. De esta manera, una vez realizados los agrupamientos, las chicas y los chicos podrán expresar: “estos miden un cuarto de círculo”, “estos miden menos de un cuarto de círculo”, “estos miden más de un cuarto de círculo” y “estos miden dos cuartos de círculo”. Será un buen momento para indagar qué nombre les pondrían a los ángulos de cada agrupamiento y arribar a una primera clasificación:

. Los ángulos que miden un cuarto de círculo se denominan RECTOS.

. Los que miden menos de un cuarto de círculo se llaman AGUDOS.

. Los que miden entre medio círculo y un cuarto de círculo se llaman OBTUSOS.

. Los que miden dos cuartos de círculo o medio círculo son los LLANOS.

 

5- BIBLIOGRAFÍA:

– Altman S.,  Comparatore, C. y Kurzrok, L.  (2009). La enseñanza de la geometría en la escuela. Geometría en el primer ciclo. 12(ntes). Número 3, año 1. pág.4. https://www.agmeruruguay.com.ar/geometriaclase1texto12ntes.pdf 

– Carrasco, D. (2022). Matemática 4 – 2da edición. Ciudad Autónoma de Buenos Aires. Aique Grupo Editor. Libros para aprender. Edición especial Ministerio de Educación de la Nación.

– Escobar, M., Grimaldi, V., Ponce H., Sancha, I, (2016). Los matemáticos de 4.  Ciudad Autónoma de Buenos Aires. Ediciones Santillana.

– Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación (2007). Cuadernos para el aula: Matemática 4. Buenos Aires, Argentina.

– Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación (2006). Núcleos de Aprendizajes Prioritarios. 2º ciclo EGB / Nivel Primario. Matemática. Buenos Aires, Argentina.

– Ministerio de Educación de la Provincia de Santa Fe (2021). Alfasueños Cuaderno Guía Serie 3. Educación Primaria. 4º grado. Santa Fe, Argentina.

– Quaranta, M. E., Varettoni, M., Chelle, M. T. (2022). A Dúo 4 Matemática. Libros para aprender. Edición especial Ministerio de Educación de la Nación. Estrada.

 

Redactaron esta publicación las profesoras Lorena Rosati, Romina Sequier, Mariela Pagani y el profesor Alejandro Alessi.

¡Seguimos compartiendo en este espacio!

 

Equipo Pedagógico

Subsecretaría de Educación Primaria