Acción Formativa Nº 108: “Usando expresiones decimales para construir el mundo”.

1- INTRODUCCIÓN:

¡Qué lindo es volver a encontrarse! 

En esta oportunidad, queremos invitarlas e invitarlos a compartir una nueva Acción Formativa destinada a 4to grado, la cual permitirá introducir a las chicas y los chicos en un trabajo matemático más profundo en relación con los números racionales.

Nos proponemos que se inicien en la construcción del sentido de los números racionales expresados en su forma decimal. Sabemos que no es tarea de unos pocos días, sino que será producto de un largo camino que necesitará de una articulación y progresión a lo largo de todo el ciclo.

Es nuestro deseo que la presente Acción Formativa contribuya a enriquecer la tarea de enseñanza.

Prof. Ubaldo López

Subsecretaría de Educación Primaria.

 

2- RECORDAMOS ALGUNOS ACUERDOS:

Los Núcleos de Aprendizajes Prioritarios (NAP) para el Segundo Ciclo del Nivel Primario (MECyT, 2004, p. 14) establecen que la escuela debe ofrecer situaciones de enseñanza que permitan interpretar, registrar o comparar cantidades utilizando expresiones con una o dos cifras decimales, como así también interpretar la equivalencia entre expresiones fraccionarias y decimales de uso frecuente para una misma cantidad, permitiendo establecer comparaciones mediante distintos procedimientos. 

Además, resultará importante que, como se establece en Cuadernos para el Aula 4 (MECyT, 2007, p. 37) se propongan situaciones que permitan la elaboración de estrategias de cálculo utilizando progresivamente resultados memorizados relativos a fracciones y expresiones decimales de uso corriente, tales como:

 

3- COMPARTIMOS ALGUNOS SABERES:

Coincidimos con lo expresado en Cuadernos para el Aula 4 (MECyT, 2004, p. 18): “una noción matemática cobra sentido a partir del conjunto de problemas en los cuales resulta un instrumento eficaz de resolución. Esos problemas constituyen el o los contextos para presentar la noción a los alumnos”. Recordamos que dichos contextos podrán ser matemáticos o no, incluyendo entre estos últimos situaciones relacionadas con otras disciplinas, con episodios de la vida cotidiana, con la información que aparece en los medios de comunicación y con juegos que pueden involucrar o tensionar las nociones que se aborden.   

Uno de los libros del Programa Nacional “Libros para aprender” seleccionado por nuestra provincia, destinado para las chicas y los chicos de cuarto grado es “Matemática 4” de Aique Grupo Editor. Podemos apreciar en el mismo diferentes contextos de los que se desprenden cálculos y problemas, tales como: un cotillón, una carpintería, un supermercado y una huerta orgánica. Además, se observan recorridos por un mapa del noroeste argentino y juegos con ladrillitos y dados, entre otros. 

De todos los contextos antes mencionados, queremos compartir una secuencia que surge de uno de ellos: la carpintería, que nos permitirá acompañar la enseñanza de los números racionales, escritos en forma decimal. 

Somos conscientes que la articulación entre las distintas escrituras para estos “nuevos números” es un desafío a largo plazo ya que, como mencionamos en la Acción Formativa Nº 96, su abordaje implicará una ruptura con respecto a la noción de número que tienen las chicas y los chicos hasta el momento. Esto no resulta simple, ya que como señaló Brousseau, los decimales “por una parte, se parecen tanto a los naturales que es muy fácil emplearlos y aprender muy pronto una cierta manera de usarlos: fueron inventados para eso. Pero, por otra parte, esta primera comprensión se convierte en obstáculo para un uso más refinado y para una buena comprensión de cuestiones fundamentales para el estudio de las matemáticas” (Brousseau, 1997, en Centeno, 1997).

Podríamos brindar algunos ejemplos de obstáculos que suelen presentarse, como expresar que un número es mayor que otro cuando tiene más cifras o que todo número tiene su siguiente. Estas son ideas válidas en el campo de los naturales pero no en el campo de los números decimales. ¡Y aquí radicará nuestro reto didáctico!

La importancia de los números decimales reside en que permiten expresar informaciones numéricas que no es posible comunicar disponiendo sólo de los números naturales. Los mismos, están formados por una parte entera y una parte decimal:

Como ocurre con cualquier noción matemática, el sentido de la noción de número decimal se va construyendo a partir de los diferentes problemas en los que se usan estos números. Entonces es pertinente preguntarnos:

¿En qué situaciones utilizamos los números decimales?

Si nos ponemos a pensar, el uso de los números decimales aparece vinculado con las compras y los precios, con las longitudes, con las informaciones relacionadas sobre la cantidad de kilogramos comprados de cierto producto o la cantidad de litros de combustible que se agrega a un vehículo, entre otras. Por lo tanto, podemos mencionar que utilizamos a los números decimales para expresar medidas en la resolución de situaciones propias del eje “Geometría y Medida” como así también de otras vinculadas con el eje “Número y Operaciones”. 

¿Qué contextos habilitarían su estudio? 

En Cuadernos para el Aula 4, se sostiene que las situaciones relacionadas con el SIMELA (Sistema Métrico Legal Argentino) y el Sistema Monetario constituyen soportes interesantes sobre los cuales pensar cuestiones ligadas a la organización de la notación decimal.

Un posible abordaje desde el Sistema Monetario tiene como ventaja principal la posibilidad de recuperar prácticas sociales extraescolares de mucha familiaridad para los alumnos, como lo es el conocimiento del valor de los diferentes billetes y monedas (y sus equivalencias). Sin embargo, “como ejemplo de algunas de las limitaciones de estos contextos, podemos pensar en el Sistema Monetario, cuya unidad es el peso y el submúltiplo más pequeño, el centavo. En este sistema, la escritura de un precio expresado en pesos admite sólo dos lugares después de la coma y ese precio se puede expresar en centavos sin escribir la coma. Además, entre dos precios dados hay un número finito de precios posibles, lo que no ocurre entre dos expresiones decimales cualesquiera”. (MECyT, 2007, p. 64).

A lo antes mencionado, consideramos que otra de las limitaciones del abordaje desde el Sistema Monetario en la actualidad radica en la poca o escasa circulación de monedas (sobre todo, aquellas cuyo valor es menor a un peso) y, debido a ello, como las escrituras de los precios ya se perciben modificadas, carece de significado para las niñas y los niños la utilización de precios para el abordaje de los números decimales.

¿Cómo nominar los lugares decimales?

Las expresiones decimales resultan una extensión de la organización decimal de nuestro sistema de numeración. Pero, a pesar de ello, como se expresa en Cuadernos para el Aula 4:

“para los niños no es evidente que en las posiciones a la derecha de la coma se conservan las relaciones de 1 a 10 analizadas al estudiar la escritura de números naturales en el sistema decimal. Esta relación, cuando se la analiza a nivel de escritura (diez unidades de un orden equivalen a una unidad del orden que se escribe a la izquierda), funciona de la misma manera que con los números naturales, pero con las “palabras” que designan esas relaciones no sucede lo mismo: mientras que diez decenas forman una centena, diez centésimos forman un décimo, es decir, mientras que las centenas son unidades de mayor orden que las decenas, los centésimos son unidades de menor orden que los décimos”. (p. 65)

Resultará interesante que las chicas y los chicos puedan sistematizar que tanto a la derecha como a la izquierda de la coma decimal, el valor de cada cifra depende de la posición que ocupa. Dicha sistematización será pertinente lograrla luego del planteo de propuestas que permitan discutir las relaciones entre los valores posicionales de la parte decimal de un número.

Retomando lo referido en el punto 2, “Recordamos algunos acuerdos”, acerca de ofrecer situaciones de enseñanza que permitan utilizar expresiones con una o dos cifras decimales, cabe preguntarnos acerca de… ¿Qué ocurre cuando trabajamos con un contexto de medida y surge la necesidad de utilizar los milésimos para lograr una mayor precisión? Consideramos que en esa oportunidad, por ejemplo, será pertinente pensar su incorporación.

4- RESOLVEMOS, CREAMOS, PROPONEMOS:

En esta ocasión, queremos que las chicas y los chicos se inicien en la construcción del sentido de los números racionales expresados en su forma decimal. 

Como venimos sosteniendo, un buen contexto habilita varias preguntas y desde allí podemos comenzar a establecer problemáticas al respecto. 

Para la presente acción, nos valdremos del contexto que proporcionan las actividades 1 y 2 de la página 109 del libro “Matemática 4” de Aique Grupo Editor. Dichas actividades se titulan “Sumas y restas en la carpintería”. Y precisamente, la carpintería, será nuestro contexto.

En un primer momento podría resultar enriquecedor programar una visita a una escuela taller, invitar a un carpintero para que pueda contar en qué consiste su trabajo o simplemente convocar a las chicas y a los chicos a imaginarse que están en una carpintería. 

– ¿A qué se dedica un carpintero o una carpintera?

-¿Cuáles creen que serán las medidas de seguridad necesarias propias del lugar?

–¿Qué herramientas y materiales se utilizan en una carpintería?

– ¿Cuál es la materia prima con la que trabaja un carpintero o una carpintera? 

A partir del último interrogante, si se desea, se podrá continuar abordando el presente contexto conjuntamente con otros espacios curriculares. Por ejemplo, acerca de cómo es el proceso de obtención de la madera, cuál es la composición y qué propiedades tiene. 

En la presente acción, vamos a proponer una secuencia con algunas mediaciones que se desprenden del enunciado de la actividad 1 de la página 109 del libro mencionado, donde se propone: “Para hacer una maqueta, Flor y Dalila compraron varillas de madera de 3 tamaños: 1,20 m, 2,05 m y 0,90 m”. 

Sin que las chicas y los chicos lean el enunciado, la o el docente presentará tres varillas (o sus representaciones) cuyas longitudes sean las mismas que se indican. 

Conversaremos sobre qué es posible construir con tres varillas en una carpintería, cómo, qué se precisa y, luego de reflexionar y brindar importancia a los procesos de medición que se requieren, preguntaremos: 

¿Cuánto creen que miden las longitudes de estas varillas?

Anotaremos las estimaciones que ofrecen de la forma que las expresan, por ejemplo:

La más larga mide más de 2 metros.

La más chica mide menos de 1 metro.

La mediana mide más de 1 metro. Debe medir como un metro y medio.

Si las respuestas están basadas en la comparación directa (la más larga mide como el largo del pizarrón, como la altura de la puerta), será pertinente invitar a expresar las longitudes estimadas de las varillas utilizando unidades tales como metro, centímetro.

Para acompañar la reflexión sobre las escrituras y posteriormente realizar una medición efectiva con el fin de cotejar dichas anticipaciones, se propondrá a cada estudiante la construcción de tres tiras de papel con las siguientes características: 

– una tira de papel en hoja lisa de 1 m;

– una tira en papel cuadriculado de 1 m, dividida en 10 partes iguales, marcando cada una de ellas;

– y una última tira en papel cuadriculado de 1 m que se encuentre ¡dividida en 100 partes! Para esto, podemos invitar a utilizar algún instrumento de medición para marcar los centímetros.

Tal como el que se propuso en la Acción Formativa número 88 (https://campuseducativo.santafe.edu.ar/accion-formativa-n-88-en-alguna-parte-del-rio/), un trabajo reflexivo en torno a las relaciones entre las partes de la tiras construidas podrá continuarse con preguntas como:

-¿Qué fracción representa cada una de las partes de la segunda tira sobre el total? ¿Cómo podemos escribir dicha fracción? ¿Cómo se leerá?

– Si la tercera tira está dividida en 100 partes. ¿Cuántas de esas partes están contenidas en una de las partes de la segunda tira? 

– ¿Qué fracción representa cada una de las 100 partes sobre el total? ¿Cómo podemos escribir dicha fracción? ¿Cómo se leerá?

– Si confeccionamos una nueva tira pero esta vez, ¡dividida en mil partes!  ¿Cómo podemos escribir dicha fracción? ¿Cómo se leerá? (en este caso, cada docente decidirá si incorpora esta intervención en la presente secuencia o si será parte de otra).

Se espera que aparezcan palabras tales como décima parte, centésima parte y milésima parte. Además, algunas escrituras podrían ser:

– En 1 tira dividida en 10 partes iguales, cada una de estas partes es 1/10 del total.

– En 1 tira dividida en 100 partes iguales, cada una de estas partes es 1/100 del total.

Posteriormente, con el fin de profundizar y avanzar en la comprensión de términos tales como decímetro y centímetro se podrán abordar los siguientes interrogantes:

– Si en la tira dividida en 10 partes, cada una de esas partes se llama “un décimo”, ¿cómo podríamos denominar a cada décimo de un metro?,  ¿cómo se expresará dicha unidad abreviada?

– Si en la tira dividida en 100 partes, cada una de esas partes se llama “un centésimo”, ¿cómo podríamos denominar a cada centésimo de un metro?, ¿cómo se expresará dicha unidad abreviada?

Con estos interrogantes pretendemos que se establezca una relación entre los términos décimo y deci-metro como también centésimo y centi-metro; y que surjan así las unidades más pequeñas que el metro, los submúltiplos cuyos símbolos son  dm y cm. 

Posteriormente, algunas escrituras podrían ser:

– Como la tira tiene 1 m, cada una de las 10 partes mide 1 dm, entonces 1 dm = 1/10 de un metro = 1/10 m. 

– Como la tira tiene 1 m, cada una de las 100 partes mide 1 cm, entonces 1 cm = 1/100 de un metro = 1/100 m.

A continuación, utilizando las tiras construidas, se propondrá realizar la medición efectiva de las varillas reflexionando sobre los siguientes interrogantes:

– ¿Cómo haríamos, utilizando las tiras construidas, para saber cuál es la longitud de cada una de las varillas?

– ¿Cómo expresaríamos dichas longitudes?

Aquí es importante detenernos a analizar las formas en que las y los estudiantes expresan las longitudes de las varillas. Suponemos que si la medición se acerca a la esperada, podrán manifestar las longitudes de algunas de las siguientes maneras:

La varilla más corta mide:	La varilla mediana  mide:	La varilla más larga mide:
menos de 1 tira	1 tira y un poco más	2 tiras y un poco más
9 partes de la tira dividida en 10	1 tira de papel y 2 partes de la tira dividida en 10	2 tiras de papel y la mitad de una parte de la tira dividida en 10
9/10 de la tira	1 tira y 2/10 o 12/10 de la tira	2 tiras y la mitad de 1/10 de la tira
9 decímetros	1 metro y 2 decímetros	2 metros y medio decímetro
90 partes de la tira dividida en 100	1 tira y 20 partes de la tira dividida en 100 o 120 partes de la tira dividida en 100	2 tiras y 5 partes de la tira dividida en 100 o 205 partes de la tira dividida en 100
90/100 de la tira	1 tira y 20/100 o 120/100	2 tiras y 5/100 o 205/100
90 centímetros	120 centímetros	205 centímetros
0,90 metros	1,20 metros	2,05 metros

 

En el caso de que no aparezca la última fila de la tabla (las expresiones decimales), podemos compartir el problema del libro donde se mencionan las medidas de las varillas que compraron Flor y Dalila para realizar la maqueta, con la intención de iniciar un proceso de debate sobre esta forma de expresar una medida. Al respecto podemos preguntar: 

¿Vieron otros números escritos de esta manera? ¿Dónde? ¿Por qué estos números tienen coma?

Luego de escuchar y compartir las respuestas sobre estas preguntas, expresamos que estos números suelen ayudarnos para informar medidas de longitudes, de distancias, de litros que hay en envases, de precios, entre otras cuestiones. Ahora las y los convocamos a enfrentar las siguientes situaciones:

¿Cómo podrían combinar las tiras para armar el número 1,20? ¿Y el 2,05? ¿Y el 0,90?

¿Cómo se relacionan estos números con las fracciones que conversamos anteriormente? 

La discusión que se suscite con estos interrogantes permitirá continuar un camino relacionado con la representación de estos números y con la relación entre las expresiones fraccionarias y decimales, por supuesto, sin decir nada aún a las chicas y a los chicos al respecto. Con el objetivo de profundizar sobre estas dos cuestiones, proponemos la siguiente actividad para resolver en grupos conformados por tres estudiantes:

1. Junten y peguen las tres tiras que no están divididas y, como si fuera una regla con números, escriban aquellos que consideren adecuados.    

2. Compartan con los demás grupos lo realizado, observen si hay diferencias y establezcan acuerdos sobre cómo deben ser las escrituras correctas.

Socializamos los acuerdos y el modelo correcto:

– Las tiras tienen que pegarse una a continuación de la otra sin superposiciones. Tal vez usando una cinta adhesiva u otro papel para unirlas.

– No tenemos que escribir el 1 en el inicio de la primera tira, va al final de la misma.

– En el inicio de la primera tira se puede poner el 0 (cero).

– Nos quedaría de esta manera:

3. Junten y peguen las tres tiras que están divididas en décimos y escriban cómo quedarían los números en ellas, tanto con fracciones como con los “números con coma”.

4. Compartan con los demás grupos lo realizado en el punto 3, observen si hay diferencias y establezcan acuerdos sobre cómo deben ser las escrituras correctas.

Socializamos los acuerdos y el modelo correcto:

– Cada parte es un décimo y se escribe 1/10 pero cuando tenemos dos o tres partes podemos escribir respectivamente 2/10 o 3/10.

– Cada décimo se puede escribir utilizando un número con coma, de esta manera: 0,1.

– Igual que con las fracciones, si tenemos dos décimos o tres décimos se puede expresar 0,2 o 0,3.

– Cuando completo una tira tengo 10/10 que es igual a 1.

– Cuando tengo algunos décimos más que 1 se va escribiendo: 1,1 – 1,2 – 1,3 – 1,4 – 1,5…

– Cuando completo dos tiras tengo 20/10 que es igual a 2.

– Cuando tengo algunos décimos más que 2 se va escribiendo: 2,1 – 2,2 – 2,3 – 2,4 – 2,5 …

– Nos quedaría de esta manera:

5. Junten y peguen las tres tiras que están divididas en centésimos y escriban cómo quedarían algunos números en ellas, tanto con fracciones como con los “números con coma”.

6. Compartan con los demás grupos lo realizado en el punto 5, observen si hay diferencias y establezcan acuerdos sobre cómo deben ser las escrituras correctas.

Socializamos los acuerdos y el modelo correcto:

– Cada parte es un centésimo y se escribe 1/100 pero cuando tenemos dos o tres partes podemos escribir respectivamente 2/100 o 3/100.

– Cada centésimo se puede escribir utilizando un número con coma, de esta manera: 0,01.

– Igual que con las fracciones, si tenemos dos centésimos o tres centésimos se puede expresar 0,02 o 0,03.

– Cuando completo una tira tengo 100/100 que es igual a 1.

– Cuando tengo algunos centésimos más que 1 se va escribiendo: 1,01 – 1,02 – 1,03 – 1,04 – 1,05 …

– 10 centésimos forman un décimo y, por lo tanto: 10/100 es lo mismo que 1/10 o 0,10 es lo mismo que 0,1.

– Cuando completo dos tiras tengo 200/100 que es igual a 2.

– Cuando tengo algunos décimos más que 2 se va escribiendo: 2,01 – 2,02 – 2,03 – 2,04 – 2,05 …

 

Finalizado este proceso donde se comparten diferentes acuerdos, será posible establecer las siguientes conclusiones:

– Un número decimal es la expresión de un número que tiene una parte entera y una parte decimal. Por ejemplo:

– Las fracciones que tienen denominador 10, 100, 1000, etcétera, se llaman fracciones decimales, y se pueden escribir como expresiones decimales. Por ejemplo:

– En los números decimales, el primer lugar después de la coma es el de los décimos, el segundo es el de los centésimos (en caso de haber abordado los milésimos, será necesario indicar que estos ocupan el tercer lugar decimal). Por ejemplo:

– En 1 metro hay 10 decímetros o 100 centímetros. También podemos escribirlo así: 1 m = 10 dm = 100 cm. 

– Cuando expresamos una medida es importante escribir la unidad, es decir, si son metros, decímetros, centímetros, etcétera. Por ejemplo:

Queremos hacer hincapié en la conveniencia de volver al contexto, a aquello que pueden realizar las y los estudiantes con tres varillas o con otros materiales en una carpintería y, por qué no, al diseño y la construcción junto a Educación Tecnológica. Además, es válido destacar que el enunciado del problema que originó la presente Acción Formativa puede continuar abriendo nuevas secuencias didácticas ¡Cuánto queda por recorrer y aprender!

 

¡A poner en acción lo aprendido!

La finalización de la presente secuencia puede acompañarse con las siguientes actividades: del libro “Matemática 4” – 2da edición. Aique Grupo Editor. 

https://docs.google.com/document/d/19upVkygUM74ltCQ-8QapacB9oHpaDsvI_OOHiyLMnCk/edit

 5- BIBLIOGRAFÍA:

Carrasco, D. (2022). Matemática 4 – 2da edición. Ciudad Autónoma de Buenos Aires. Aique Grupo Editor. Libros para aprender. Edición especial Ministerio de Educación de la Nación.

Centeno, J. (1997), Números decimales ¿Por qué?, ¿Para qué?. España, Síntesis. Disponible en https://www.academia.edu/41240616/N%C3%9AMEROS_DECIMALES_POR_QU%C3%89_PARA_QU%C3%89 

Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación (2007). Cuadernos para el aula: Matemática 4 – 1a ed. Buenos Aires, Argentina.

Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación (2006). Núcleos de Aprendizajes Prioritarios. 2º ciclo EGB / Nivel Primario. Matemática. Buenos Aires, Argentina.

 

Agradecemos la colaboración de Alejandro Alessi, Mariela Pagani y Romina Sequier, integrantes del Equipo Pedagógico de la Subsecretaría de Educación Primaria.

¡Seguimos trabajando en este espacio!

Equipo Pedagógico