ACCIÓN FORMATIVA N° 74 «Operaciones combinadas»

Módulo: Identidades, Cultura y Sociedad

1- INTRODUCCIÓN:

 

Compartimos esta Acción Formativa para continuar acompañando los procesos de la enseñanza de contenidos propios del espacio curricular Matemática en séptimo grado. En esta oportunidad, queremos abordar el eje Número y Operaciones desde el descubrimiento y la profundización de algunos procedimientos de cálculo combinados, la identificación, el análisis y la utilización de propiedades de las operaciones y el uso del lenguaje coloquial y simbólico.

Como venimos afirmando en intervenciones precedentes, apostamos por un trabajo matemático que busque una mirada reflexiva sobre los distintos objetos de conocimiento, presentados en un contexto conveniente que posibilite la aparición de situaciones problemáticas. Por este motivo, la secuencia que se pone en discusión con ustedes, parte de una situación contextualizada en el análisis de folletos de los supermercados, donde el cálculo combinado se torna imprescindible para brindar respuestas a cuestiones relacionadas con compras, ventas, aprovechamiento de ofertas y del dinero disponible. Consideramos también, que este contexto ofrece una excelente oportunidad para enlazar con aquellas nociones que permitan cuestionar lo que se consume, el impacto de la publicidad en nuestras decisiones, la importancia de una adecuada elección en los alimentos para cuidar la salud y otras temáticas relevantes que habilitarían un trabajo interdisciplinario.

Las y los invitamos a compartir esta publicación.

 

Licenciada Nanci Noemí Alario 

Subsecretaria de Educación Primaria 

 

2- RECORDAMOS ALGUNOS ACUERDOS

 

Como se propone en los Núcleos de Aprendizajes Prioritarios (NAP) de séptimo año (M.E.N., 2006), presentamos en esta Acción Formativa situaciones que implican continuar trabajando con el reconocimiento y uso de las operaciones con naturales y sus propiedades, para ampliar al campo de los racionales: fracciones y decimales. Para ello, apelamos a la presentación de situaciones que impliquen el cálculo no solo exacto, sino también aproximado, escrito y mental, permitiendo en ocasiones trabajar con calculadora y en otras sin ella, pero siempre apelando a la razonabilidad de los resultados analizados en contexto y en función de cada situación.    

Introducimos  la producción de “cálculos combinados en relación a problemas”, y “problemas en relación a cálculos combinados”. Pretendemos que las chicas y los chicos sean quienes, por medio de argumentos, validen los procedimientos y resultados apelando a las propiedades de las operaciones, construyéndolas y reconstruyéndolas.   

 

3- COMPARTIMOS ALGUNOS SABERES

 

En el eje Número y Operaciones podemos encontrar contenidos de suma relevancia para abordar en todo el nivel primario que además, son factibles de ser trabajados en forma integral con contenidos de otros ejes y de otros espacios de conocimiento. 

 

Desde este documento, se invita a construir espacios adecuados para que las y los estudiantes puedan reconocer y usar números naturales, expresiones fraccionarias y expresiones decimales.

 

En séptimo grado tenemos la responsabilidad de profundizar ciertas nociones y proponer el descubrimiento de otras. En relación a esto, trataremos de ir brindando ideas en relación a dos cuestiones que nos parece relevante abordar. Por un lado, ¿qué deben aprender las niñas y los niños sobre los números y las operaciones en el nivel primario? Por otro lado, ¿qué estrategias serán necesarias para ofrecer genuinas oportunidades para que se concreten estos aprendizajes?

 

Una respuesta a la primera pregunta la encontramos si atendemos lo que proponen Broitman, Itzcovchi, Parra y Sadovsky (1997) cuando manifiestan que “durante mucho tiempo se ha considerado que los niños tenían que aprender primero a realizar cuentas y luego a resolver los  problemas en los que se aplica cada operación. Desde esta perspectiva los problemas se presentaban como ejercicio de aplicación y evaluación de las operaciones.” Hoy afirmamos que, para que las chicas y los chicos puedan comprender y tengan oportunidad de “saber resolver una cuenta”, es necesario presentarla a partir de  problemas contextualizados posibilitando discusiones variadas y construcciones colectivas lejanas a procedimientos mecanizados. De esta forma, las y los estudiantes estarían enfrentando situaciones que les permita involucrarse con los números para describirlas, para saber qué ocurre en ellas y comunicar tal ocurrencia. Estas situaciones pueden presentarse bajo un contexto extra-matemático que habilite la apreciación de los objetos matemáticos en cuestión, los números, siendo utilizados para interpretar, registrar, comparar cantidades, medidas, datos. Consideramos que estos contextos otorgan diversas posibilidades para brindar significados a los números. No obstante, será pertinente ir hacia los contextos intra-matemáticos que permitirán avanzar en conceptualizaciones sobre la noción de número, la comprensión de las características del sistema de numeración decimal y su utilización para habilitar la interpretación de los algoritmos relacionados con las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división. 

 

En relación a esto último, creemos que cada estudiante profundiza sus aprendizajes sobre las operaciones cuando:

– se acerca a definiciones posibles, 

– aborda los diferentes sentidos del campo aditivo o del campo multiplicativo,

– descubre y utiliza las propiedades de cada operación, 

– utiliza ciertas propiedades en la resolución algorítmica de algunos cálculos (la propiedad distributiva al resolver cálculos que impliquen multiplicar o dividir, las propiedades asociativa y conmutativa al enfrentar adiciones con varios sumandos). 

 

En esta reflexión, creemos que vale la pena expresar claramente que la enseñanza y el aprendizaje de las operaciones no debe circunscribirse al manejo de los algoritmos asociados a cada operación. Por ello, como se expresa en Cuadernos para el aula 6 (p. 105, 2006), para propiciar la comprensión de los algoritmos usuales es esencial que propongamos problemas donde las y los estudiantes exploren, elijan y utilicen distintos procedimientos, pongan en juego las propiedades de los números y de las operaciones, utilicen cálculos mentales y dispongan de diferentes recursos de estimación y control de resultados. De esta manera, en este proceso que requiere avances, retrocesos, aciertos y dudas, se avanzará hacia la utilización y sistematización de estrategias más económicas de cálculo. Es importante que, como docentes, tengamos en algún momento de todo este proceso la intención de convertir a las cuentas en objeto de reflexión y estudio, estableciendo acuerdos tendientes a la comprensión y al dominio de los algoritmos abordados.

 

Por supuesto, también consideramos que será pertinente invitar a profundizar nociones relacionadas con otras operaciones como la potenciación y la radicación. En el primer caso, será provechoso invitar a descubrir que existen multiplicaciones, donde se reitera en varias oportunidades el mismo factor, que pueden ser expresadas de otra manera, tal como se realizó con la multiplicación cuando se adicionaba en forma reiterada el mismo sumando. Encontrar semejanzas y diferencias en esta analogía abrirá un número importante de interrogantes que serán transformados en situaciones problemáticas por aquella docente o por aquel docente que habilite espacios de reflexión. Entonces, podríamos plantear preguntas como las siguientes:

 

– ¿Toda multiplicación puede expresarse como potenciación?

– ¿Toda potenciación se puede escribir como multiplicación?

– ¿Qué ventaja brinda la potenciación? ¿Para qué se utiliza?

– Si toda potenciación se puede expresar como multiplicación y toda multiplicación puede expresarse como adición, entonces ¿toda potenciación podrá expresarse como adición?

 

Para continuar reflexionando sobre el primer interrogante planteado consideramos que las niñas y los niños deben conocer que el conjunto de los números naturales no es suficiente para describir el mundo. La necesidad de utilizar expresiones fraccionarias y expresiones decimales abre un enorme lugar de trabajo vinculado con lo aprendido sobre los números naturales y sobre cómo operar con estos números, brindando a su vez una apertura hacia nuevos desafíos asociados a la “ampliación” del campo numérico. Ofrecemos a modo de ejemplo, algunas ideas sobre los números y las operaciones que consideramos valioso ponerlas en discusión con las chicas y los chicos:

– Todo número natural puede expresarse como una expresión fraccionaria.

– Todo número natural puede expresarse como una expresión decimal.

– Todo número natural tiene un sucesor y un antecesor.

– Todo número natural está compuesto por una iteración de unos.

– Entre dos números naturales consecutivos no existe ningún número natural.

– El conjunto de los números naturales es infinito.

– Entre dos números naturales existen expresiones fraccionarias (infinitas).

– Entre dos números naturales existen expresiones decimales (infinitas).

– Entre dos expresiones fraccionarias o entre dos expresiones decimales existen siempre expresiones fraccionarias o expresiones decimales. En consecuencia, no podemos decir que exista el siguiente o el antecesor de una expresión fraccionaria o de una expresión decimal.

– Las expresiones decimales se pueden escribir como expresiones fraccionarias. Una interesante pregunta para responder en una instancia más avanzada es: ¿todas?

– Las expresiones fraccionarias se pueden escribir como expresiones decimales.

– Cuando adicionamos números naturales obtenemos como suma otro número natural.

– Cuando adicionamos expresiones fraccionarias o expresiones decimales podemos obtener un número natural.

– Cuando multiplicamos dos números naturales, distinto de cero, obtenemos como producto otro número natural mayor o igual al mayor número natural que opera como factor.

– Cuando multiplicamos dos expresiones fraccionarias o dos expresiones decimales (distintas de cero), puede obtenerse como producto una expresión fraccionaria, una expresión decimal o un número natural. 

– Cuando multiplicamos dos expresiones fraccionarias o dos expresiones decimales (distintas de cero), en ocasiones el producto puede ser menor que ambos factores.

– Una división entre dos expresiones fraccionarias puede expresarse como la multiplicación entre la primera y el inverso de la segunda. Algunos interrogantes interesantes pueden desprenderse de esta idea, como por ejemplo: ¿Todas las divisiones pueden expresarse como multiplicación? ¿Todas las multiplicaciones pueden expresarse como división? ¿Qué hacemos cuando dividimos expresiones fraccionarias? ¿Y cuando multiplicamos expresiones fraccionarias?

 

Todas estas ideas y muchísimas otras más se pueden permitir descubrir si propiciamos espacios donde las niñas y los niños utilicen los números para enfrentar problemas y discutan en relación a los procedimientos empleados y en relación a los resultados obtenidos. Cada problema será una oportunidad para arribar en forma comprensiva a las distintas ideas. 

Un lugar importante para profundizar en este nivel tiene que ver con el establecimiento de equivalencias entre las distintas representaciones de un número: las coloquiales, las simbólicas, las gráficas. Debemos propiciar muchos espacios para que las chicas y los chicos se enfrenten a situaciones que ameriten utilizar diferentes representaciones, donde identifiquen cuándo es conveniente utilizar una y cuándo es pertinente la presencia de otras, donde perciban las ventajas y los obstáculos que cada representación ofrece en el cálculo. En relación a esto último, podríamos generar conflictos como los siguientes:

– ¿Cuándo es conveniente utilizar una representación gráfica para adicionar expresiones fraccionarias? ¿Existen ejemplos donde los gráficos se transforman en un recurso poco práctico?

– ¿Cuándo es conveniente utilizar una representación gráfica para sustraer expresiones fraccionarias? ¿Existen ejemplos donde los gráficos se transforman en un recurso poco práctico?

– ¿Puede utilizarse un gráfico para visualizar el producto entre expresiones fraccionarias? – ¿Cómo puede verse gráficamente que comí la mitad de un cuarto de un chocolate? 

– ¿Una expresión coloquial permite interpretar lo que se realiza en una operación?

– ¿Siempre conviene usar expresiones decimales al realizar “cuentas”? 

– ¿Qué relación encontrás cuando multiplicás expresiones decimales y expresiones fraccionarias?

Estas preguntas y muchísimas otras, se pueden plantear para profundizar la comprensión de las distintas representaciones y, a la vez, la interpretación de las nociones asociadas a los números racionales expresados en forma fraccionaria o en forma decimal y a las operaciones en este campo numérico.

Otro lugar importante para permitir profundizar e interpretar tiene que ver con la combinación de varias operaciones en relación a una situación problemática. Que las y los estudiantes puedan establecer pequeños modelos aritméticos que representen situaciones, que logren calcular adecuadamente para obtener respuestas a las situaciones problemáticas, que puedan plantear nuevas situaciones relacionadas con cálculos combinados, que logren aproximarse a los resultados argumentando los procedimientos utilizados, que recurran a otros recursos como una calculadora, una aplicación, una planilla y sepan cuándo pueden usarlos; serán objetivos valiosos que podemos plantearnos en el nivel primario, teniendo en cuenta que estos modelos aritméticos serán los antecesores de los modelos algebraicos que se compartirán luego.

Creemos que será necesario propiciar momentos de trabajo para que las chicas y los chicos puedan descubrir que existe un orden relacionado con los cálculos combinados, que este orden responde a una lógica que tiene que ver con lo ya construido en años anteriores sobre las definiciones de las operaciones y sobre las propiedades involucradas. Por ejemplo, si tuvieramos la siguiente adición:

FORMA 1

5 + 5 +  3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 34 + 34 =

De acuerdo a lo aprendido sobre adición y multiplicación, podríamos expresarla de esta forma:

FORMA 2

5 x 2 + 3 x 5 + 34 x 2 =

El hecho de interpretar qué se está expresando en este cálculo combinado, habilitaría a poder concluir que, para resolverlo, no sería adecuado proceder de esta forma:

Si alguna persona desarrollara este procedimiento, la maestra o el maestro debería preguntar:

– ¿Qué representa el número 2 en este cálculo combinado en relación al primer cálculo?

– ¿Qué representa el número 5 en este cálculo combinado en relación al primer cálculo?

– ¿Qué diferencia encontrás al resolver el cálculo en su forma 1 y al resolver el cálculo en su forma 2?

 

Creemos que preguntas como estas permitirían apreciar el orden de las operaciones como un elemento valioso al enfrentar cálculos combinados. Además, consideramos que ciertos contextos extra-matemáticos ayudarán también a la interpretación de este orden. En relación al ejemplo ofrecido, podríamos plantear que compramos dos chicles a $5 cada uno, cinco caramelos a $3 cada uno y dos alfajores a $34 cada uno. Esta situación se modeliza con el cálculo ofrecido tanto en la FORMA 1 como en la FORMA 2. Si analizamos su resolución, no tendría ninguna lógica multiplicar 13 x 5 porque en este caso tendríamos que preguntar, por ejemplo: ¿Algo de lo que compramos costó $13? ¿Qué obtenemos al multiplicar 13 x 5?

De esta manera, el cálculo combinado se transforma en una oportunidad para reflexionar, para tomar decisiones y argumentar los procedimientos que se llevan a cabo y no solamente en una acción donde se replica un procedimiento.

 

4- RESOLVEMOS, CREAMOS, PROPONEMOS

Invitamos a las y los estudiantes a traer folletos de diferentes supermercados, actuales, donde podamos apreciar y comparar los precios de los productos, las ofertas que existen, la posibilidad de descuentos, etc.

A continuación, compartimos el folleto número 1 para comparar con el que trajeron las y los estudiantes:

FOLLETO NÚMERO 1

 

FOLLETO NÚMERO 2

 

FOLLETO NÚMERO 3

 

Proponemos un espacio para observar y presentar interrogantes. Para que sean las chicas y los chicos quienes puedan generar preguntas en relación a los folletos. Las anotaremos y las dejaremos registradas para “ir contestándolas” en forma gradual, suponemos que surgirán interrogantes como los siguientes:

¿Qué es una oferta?

¿Por qué los precios tienen dos ceros “arriba”?

¿Por qué sólo algunos artículos aparecen en el folleto?

¿Qué significa 750 cc?

¿Cómo calculamos un 20% de descuento?

¿Qué significa “Y hasta 6 cuotas sin interés”?

¿Qué es precio por kg? ¿Precio por unidad? ¿Precio por metro cuadrado?

Leer un folleto no es una tarea sencilla, aprender sobre precios, descuentos y porcentajes nos permite tener la oportunidad de tomar mejores decisiones… ¡Hacia allí vamos!

Podemos generar la siguiente situación problemática:

Cuando un supermercado realiza una OFERTA está ofreciendo un producto para que se compre a un precio más bajo que lo normal…

¿Cómo podemos saber si una OFERTA ES UNA OFERTA?

En esta situación problemática se invita a poner al descubierto que, para que exista una oferta, el precio tiene que ser inferior al precio normal. Si desconocemos cuál es el precio normal, nunca podremos saber si una oferta es realmente una oferta. Por lo tanto, esta situación problemática invita a ser personas críticas al tomar decisiones al efectuar una compra, teniendo un conocimiento mínimo sobre los precios de aquellos productos a adquirir. Hoy la posibilidad de las redes e Internet nos permite buscar y comparar precios para tener más información sobre los costos y así tomar mejores decisiones. También podemos realizar estas comparaciones leyendo los folletos de almacenes, supermercados y los carteles que se colocan en la puerta de algunos de ellos.

Para profundizar podemos establecer interrogantes como los siguientes:

– ¿3 rollos de cocina a $70 es una oferta?

– ¿Un paquete de masitas de 200 g a $40 es una oferta?

– ¿Qué ofertas “detectan” en los folletos que sean para aprovechar?

– Al comparar dos folletos ¿Qué comprarías en uno o en otro? ¿Por qué?

Ahora que sabemos qué es una oferta, vamos a proponer otra situación problemática:

Tenés $1000 y debés realizar una “buena compra”… ¿Qué llevarías?

Comparamos las distintas posibilidades, las analizamos y las criticamos en relación a los motivos por los cuales se tomaron las decisiones. Tratamos de interpelar la idea de precios pero también la idea de los productos que se compraron y los motivos de esa compra. Para ello sería oportuno pensar posibles interrogantes que pueden surgir a la hora de tomar decisiones: ¿Qué es realizar una buena compra? ¿Qué alimentos podrían ser básicos en una canasta familiar? ¿Cómo elegir los alimentos necesarios? ¿Cuántas personas integran el grupo familiar? ¿Qué cantidad de cada producto se deberá comprar para ese grupo familiar? ¿La compra que efectuaremos es sólo para el día?

Luego de la discusión y del establecimiento de acuerdos aprovechamos el contexto y solicitamos:

¿Cómo escribirían con números y signos la compra realizada?

Por ejemplo: 

– Compré 10 paquetes de arroz a $100 cada paquete.

¿Qué números y qué símbolos aparecerían en esta compra? Esta pregunta invita a involucrarse matemáticamente con la expresión coloquial para transformarla. Tenemos por un lado a los números 10, 100 y 1000, por otro lado tenemos a la operación adición o a la multiplicación (de acuerdo a cómo se piense la situación) y, finalmente, tenemos una igualdad.

Debemos propiciar momentos que permitan pensar que los números, en el contexto del supermercado, conllevan información y eso no es menor. Por ejemplo el número 10 no tiene “el mismo rango” que el número 100 y, por ejemplo, no sería una opción adecuada bajo esta situación realizar:

 10 + 100

Ya que 10 es cantidad de paquetes y 100 es el precio de cada paquete, en consecuencia estaríamos adicionando cantidades no homogéneas. Pero sí podríamos hacer:

100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 

En este caso estaríamos adicionando lo que se abona por cada paquete… ¿dónde se aprecia el número 10 en esta ocasión? En la cantidad de veces que debe adicionarse el precio.

Es por este motivo que es posible escribir también:

100 x 10

Para completar esta expresión, podemos agregar el resultado que, en esta ocasión, corresponde exactamente con lo que se tenía para gastar:

100 x 10 = 1000

Aquí será posible problematizar para generar un conflicto que permita profundizar sobre la propiedad conmutativa, porque es probable que alguien haya expresado:

10 x 100 = 1000

Además, se prodrá profundizar en relación a qué indica cada número y cómo podríamos completar lo expresado, por ejemplo:

10 x $100 = $1000                   o                $100 x 10 = $1000

Si proponemos reflexionar sobre: ¿Cuál de las dos expresiones consideran adecuada y por qué? Estaríamos tensionando la definición abordada probablemente en el primer ciclo. Seguramente se estableció que en una multiplicación el primer factor es el número que se adiciona y el segundo indica la cantidad de veces que se adiciona el primero. Por lo tanto, aparecerá una interesante oportunidad para establecer un conflicto: ¿La propiedad conmutativa anula la definición conocida? ¿Qué establece la propiedad conmutativa? ¿Estas compras son iguales, $100 x 10 que $10 x 100?

Si queremos que refleje exactamente a la situación deberíamos escribir:

Observen cómo una situación tan sencilla posee una enorme complejidad. Enfrentar situaciones como estas permitirán ir avanzando hacia la interpretación y el manejo adecuado de las propiedades de las operaciones, como también de las unidades en situaciones problemáticas relacionadas con la medida.

Otras posibles compras con los $1000 pueden ser las siguientes:

– Compré 5 latas de durazno a $200 cada una.

– Compré una leche en polvo a $600 y dos paquetes de avena a $150 cada uno.

– Compré tres paquetes de masitas “Desayunando” que salen $40 cada uno, un paquete de fideos Mostachol a $80, una gaseosa a $160, tres alfajores a $70 cada uno, cuatro hamburguesas a $300 y los cuatro panes a $120.

 

En este último ejemplo, podrán apreciar que la complejidad es mayor porque intervienen más productos y se tienen precios por unidad y también precios por 4 unidades. Lo mencionado puede ofrecer obstáculos a la hora de escribir simbólicamente. Un enunciado “simbólico” posible para esta situación sería:

$40 x 3 + $80 x 1 + $160 x 1 + $70 x 3 + $280 x 1 + $120 x 1 = $970

Si quisieran colocar el precio unitario de las hamburguesas y del pan, tendrían que expresar:

$40 x 3 + $80 x 1 + $160 x 1 + $70 x 3 + $70 x 4 + $30 x 4 = $970 

Se podría proponer reflexionar sobre las compras que cada una y cada uno realizó, analizar cómo se expresaría simbólicamente y por qué.

Es probable que se presenten aquí diversos registros que vayan desde la suma reiterada, a la multiplicación de cantidad de productos por su costo unitario (en el caso de productos iguales), llevando el lenguaje coloquial, antes propuesto a uno simbólico. Otra posibilidad podría ser la representación en tablas como cuando se detalla la compra en una factura:

 

 

A continuación, se los puede invitar a analizar diversos tickets y facturas de compra para interpretar todos los datos que allí aparecen. 

¿Cuál es el nombre del local? ¿En qué lugar del ticket o la factura se indica? 

¿Qué otros datos importantes figuran en el ticket  o la factura? 

¿En qué lugar se encuentran estos datos? ¿En todos los ticket o facturas aparecen?

 

A continuación se pueden registrar los datos que ofrecen estos portadores.

 

Luego, una propuesta interesante podría ser la confección del propio ticket de la compra que cada estudiante realizó.  

Todas estas propuestas favorecen el análisis de diversas situaciones que requieren de varios pasos con las cuatro operaciones y diversidad de formatos para presentar la información. 

Construimos el ticket de varias de las compras propuestas anteriormente como la siguiente:

$40 x 3 + $80 x 1 + $160 x 1 + $70 x 3 + $70 x 4 + $30 x 4 = $970

 

Se puede invitar a:

– Resolver las operaciones utilizando diversos recursos: papel y lápiz, calculadora común, calculadora científica, calculadora de los celulares. 

– Cotejar resultados.

– Descubrir las reglas que rigen el cálculo combinado. 

– Expresar dichas reglas. 

– Ponerle nombre al tipo de cálculo. ¿Por qué se le llamará cálculo combinado?

 

Algunas preguntas que pueden acompañar este proceso son las siguientes:

¿Cuánto se gasta en cada producto?

¿Dónde se ve en la expresión la información de cada producto? (este interrogante lo consideramos fundamental porque habilita la visualización de los TÉRMINOS)

¿Cómo resolvemos para encontrar el resultado? ¿Hay varias maneras de resolver?

¿Se puede resolver en cualquier orden?

 

Luego de este proceso de discusión y acuerdos podríamos elaborar un afiche que refleje la construcción realizada, nos imaginamos algo así:

 

Para resolver cálculos combinados debemos seguir estos pasos:

 

PASO 1. Identificamos cuántos productos distintos compramos (esto se puede relacionar con la separación en términos).

PASO 2. Averiguamos cada uno de los gastos parciales; es decir: cuánto gastamos en productos iguales (esto se puede relacionar a la resolución de operaciones dentro de un mismo término).

PASO 3. Adicionamos todos los gastos parciales calculados en el PASO 2.

 

Estos pasos podríamos ponerlos en relación a cualquier otra situación y realizar la “traducción” en términos matemáticos. Por ejemplo:

 

Para resolver cálculos combinados debemos seguir estos pasos:

 

PASO 1. Separamos en términos.

PASO 2. Multiplicamos.

PASO 3. Adicionamos.

 

Podríamos generar la siguiente situación problemática:

 

¿Qué ocurre si en un cálculo combinado tenemos divisiones y sustracciones?

 

Permitimos que hipoteticen, que muestren ejemplos para sostener o refutar sus hipótesis y brindamos ejemplos que permitan realizar este camino:

 

– ¿En el ejemplo anterior, dónde pondrías los $1000? ¿Qué operación realizarías con dicho número?

 

Una posibilidad es que puedan plantear:

$1000 – $40 x 3 – $80 x 1 – $160 x 1 – $70 x 3 – $70 x 4 – $30 x 4 = $970

– Llevé $500 al supermercado, compré medio kg de carne para bife y 4 litros de agua mineral ¿Cuánto dinero me queda?

Esta situación se expresaría de la siguiente manera:

$500 – $540 : 2 – $70 x 2 = (esta sería la expresión relacionada con el precio del agua mineral por cada dos litros)

$500 – $540 : 2 – $35 x 4 = (esta sería la expresión relacionada con el precio del agua mineral por cada litro)

Para resolverla primero será necesario averiguar el valor de la carne comprada y de los 4 litros de agua mineral, así como interpretar que medio kilo requiere la división por 2. Luego, efectuar la sustracción.

Por lo tanto, se podría “ampliar” el afiche indicando:

Para resolver cálculos combinados debemos seguir estos pasos:

PASO 1. Separamos en términos.

PASO 2. Multiplicamos y dividimos.

PASO 3. Adicionamos y sustraemos.

A continuación, podemos proponer los siguientes interrogantes para avanzar un paso más en las operaciones combinadas:

¿Podemos tener algún paréntesis en un cálculo combinado? ¿Se imaginan alguna compra del supermercado donde sea necesaria la utilización de los paréntesis para expresarla correctamente?

Esta situación tal vez la enfrenten sin lograr encontrar algún ejemplo adecuado. No obstante, el hecho de pensar y ensayar intentos habilitará la interpretación. Por ejemplo, se podrá invitar a imaginar compras de artículos distintos que tengan el mismo precio o compras de la misma cantidad de varios artículos.

Situación 1: 

Compro 3 paquetes de yerba, 3 paquetes de café y 2 paquetes de fideos Tirabuzón. ¿Cuánto gasto?

Maneras de expresar simbólicamente la Situación 1:

1. $180 x 3 + $160 x 3 + $120 x 2 =

2. ($180 + $160) x 3 + $120 x 2 =

Al discutir con las chicas y con los chicos sobre estas dos maneras diferentes de expresar la misma situación, nos adentraremos en la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición o en la extracción de un factor común. Aquí se abre un interesante lugar para problematizar: ¿Por qué se puede distribuir? ¿Cuándo? ¿Con qué operaciones? Un trabajo relacionado con establecer conjeturas y validarlas sería totalmente oportuno.

Lo que queríamos abordar aquí es cómo procedemos en un cálculo combinado cuando tenemos paréntesis. Un análisis de la situación permitiría reflexionar que puedo averiguar cuánto cuesta comprar un paquete de yerba y uno de café y multiplicar por 3 este resultado para saber cuánto pago los tres paquetes de yerba y de café que llevo. Es decir, primero resolver el paréntesis (aunque haya una adición en el mismo).

Situación 2:

Compré 4 paquetes de masitas “Pepón”, 2 fideos Mostachol, un lavavajillas y una manteca. ¿Cuánto debo abonar por la compra?

Maneras de expresar simbólicamente la Situación 2:

1. $80 x 4 + $80 x 2 + $80 x 1 + $140 x 1 =

2. $80 x (4 + 2 + 1) + $140 x 1 =

Nuevamente, la propiedad distributiva y la extracción de un factor común se pueden tensionar en esta situación. Nos interesa además, que las y los estudiantes identifiquen que podemos averiguar cuántos productos que cuestan $80 compramos, esto permitirá “tomar un atajo” en el cálculo. Por lo tanto, la resolución del paréntesis en primer lugar nos brinda un dato de interés que permite simplificar el cálculo combinado.

Podríamos, por lo abordado en esta última parte, agregar un paso más para la resolución de cálculos combinados y nos quedaría lo siguiente:

Para resolver cálculos combinados debemos seguir estos pasos:

PASO 1. Separamos en términos.

PASO 2. Resolvemos los paréntesis.

PASO 3. Multiplicamos y dividimos.

PASO 4. Adicionamos y sustraemos.

Situación 3: 

Dado el siguiente cálculo combinado, narrá cuál podría haber sido la compra y el dinero con que se contaba para realizarla.

3000 – 200 x (2 + 3) – (180 + 40) x 3 – 600 = 

Proponemos aquí el trabajo inverso. Pensar un enunciado para un cálculo combinado dado. Si en instancias anteriores fue discutida la posición que ocupa la cantidad de dinero con la que se abonó operando como minuendo, será sencillo reconocer que los últimos tres términos son las compras parciales que se efectuaron, por lo que se van sustrayendo al monto total con el cual se abona ($3000).

A su vez, en estos mismos tres términos nos encontramos con diversas situaciones. En el segundo término el factor común 200  opera como precio de dos tipos de productos distintos, de los que se ha comprado de uno 2 unidades y del otro 3. En el tercer término cambia, el 3 indica aquí la cantidad de elementos que se compraron de artículos cuyo costo es $180 y $40 pesos. En el cuarto y último término tenemos la compra de algún artículo cuyo valor es $600.-

Lo interesante de la Situación 3 es la reflexión, la discusión y la construcción colectiva que podemos generar en el aula. Tal vez, presentarla en tramos con sólo los dos primeros términos, luego solamente el primero y el tercero; para en una instancia posterior se pueda analizar  el cálculo completo, si lo amerita y sólo si la docente o el docente lo considera pertinente. 

Desde esta secuencia se puede continuar habilitando espacios de discusión sobre: cálculos combinados con expresiones fraccionarias o decimales y cálculo de porcentajes si proponemos discutir en relación a folletos como el número 2 y el número 3.

Imaginamos espacios de reflexión sobre otros contenidos relacionados con el eje Números y Operaciones. Como apreciarán, es tan interesante el contexto que se ofrece, que la secuencia brinda la posibilidad de abarcar diferentes temáticas con distintos niveles de graduación. Las y los invitamos a utilizarla, evaluarla y continuar avanzando hacia espacios críticos relacionados sobre el consumo, la alimentación, la economía, el trabajo y diferentes instancias relevantes para las y los adolescentes.

5- BIBLIOGRAFÍA:

Broitman, C., Itzcovich, H., Parra, C., Sadovsky, P. (1997). Matemática. Documento de trabajo N° 4. Actualización Curricular. Buenos Aires, Argentina.

Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación (2006). Núcleos de Aprendizajes Prioritarios. 3º Ciclo EGB / Nivel Medio. Matemática. Buenos Aires, Argentina.

Ministerio de Educación Ciencia y Tecnología de la Nación. (2007). Matemática: Leer, escribir y argumentar. Buenos Aires, Argentina.

Ministerio de Educación Ciencia y Tecnología de la Nación. (2007). Serie Cuadernos para el aula: Matemática 6.  Buenos Aires, Argentina.

 

Agradecemos la colaboración de las Profesoras Mariela Pagani y Clarisa Rodríguez y al Profesor Alejandro Alessi, miembros del Equipo Pedagógico de la Subsecretaría de Educación Primaria.

Seguimos compartiendo próximas publicaciones.

Subsecretaría de Educación Primaria.